Алгебра Примеры

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{7}$

Этап 1

Корни — это точки пересечения графика с осью x $(y = 0)$ .

$y = 0$ при значениях, соответствующих корням

Этап 2

Корень в $x = \frac{1}{2}$ был найден решением относительно $x$ при условии $x - (\frac{1}{2}) = y$ и $y = 0$ .

Множитель равен $x - \frac{1}{2}$ .

Этап 3

Корень в $x = \frac{1}{3}$ был найден решением относительно $x$ при условии $x - (\frac{1}{3}) = y$ и $y = 0$ .

Множитель равен $x - \frac{1}{3}$ .

Этап 4

Корень в $x = \frac{1}{7}$ был найден решением относительно $x$ при условии $x - (\frac{1}{7}) = y$ и $y = 0$ .

Множитель равен $x - \frac{1}{7}$ .

Этап 5

Объединим все множители в одно уравнение.

$y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6

Перемножим все множители, чтобы упростить уравнение $y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = (x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.1.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3})) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.1.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.1.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.1.4.4

Умножим $2$ на $3$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $- \frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.3

Чтобы записать $- \frac{x}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.4.3

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.4.4

Умножим $2$ на $3$ .

$y = (x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = (x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.6

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$y = (x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.7

Объединим $x^{2}$ и $\frac{6}{6}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = (\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6}) (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Изменим порядок членов.

$y = \frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (x - \frac{1}{7})$

Этап 6.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot x + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (- \frac{1}{7})$

Этап 6.4.2

Объединим $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6}$ и $x$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} + \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} \cdot (- \frac{1}{7})$

Этап 6.5

Умножим $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} (- \frac{1}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6}$ на $\frac{1}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6 \cdot 7}$

Этап 6.5.2

Умножим $6$ на $7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Этап 6.6

Чтобы записать $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6} \cdot \frac{7}{7} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Этап 6.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $42$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $\frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x}{6}$ на $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7}{6 \cdot 7} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Этап 6.7.2

Умножим $6$ на $7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7}{42} - \frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Этап 6.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7 - (3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Этап 6.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Вынесем множитель $(3 x - 1) (2 x - 1)$ из $(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7 - (3 x - 1) (2 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1.1

Вынесем множитель $(3 x - 1) (2 x - 1)$ из $(3 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 7$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) - (3 x - 1) (2 x - 1)}{42}$

Этап 6.9.1.2

Вынесем множитель $(3 x - 1) (2 x - 1)$ из $- (3 x - 1) (2 x - 1)$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) + (3 x - 1) (2 x - 1) (- 1)}{42}$

Этап 6.9.1.3

Вынесем множитель $(3 x - 1) (2 x - 1)$ из $(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7) + (3 x - 1) (2 x - 1) (- 1)$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 7 - 1)}{42}$

Этап 6.9.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$y = \frac{(3 x - 1) (2 x - 1) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.10

Развернем $(3 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{(3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.11.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{(3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.11.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{(3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.11.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \frac{(6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.11.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.11.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.11.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.11.2

Вычтем $2 x$ из $- 3 x$ .

$y = \frac{(6 x^{2} - 5 x + 1) (7 x - 1)}{42}$

Этап 6.12

Развернем $(6 x^{2} - 5 x + 1) (7 x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$y = \frac{6 x^{2} (7 x) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{2} x) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 (x \cdot x^{2})) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 (x \cdot x^{2})) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{1 + 2}) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{6 \cdot (7 x^{3}) + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.3

Умножим $6$ на $7$ .

$y = \frac{42 x^{3} + 6 x^{2} \cdot - 1 - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.4

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 x (7 x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 x \cdot x) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.6.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 (x \cdot x)) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 5 \cdot (7 x^{2}) - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.7

Умножим $- 5$ на $7$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} - 5 x \cdot - 1 + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.8

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 1 (7 x) + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.9

Умножим $7 x$ на $1$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 7 x + 1 \cdot - 1}{42}$

Этап 6.13.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 6 x^{2} - 35 x^{2} + 5 x + 7 x - 1}{42}$

Этап 6.14

Вычтем $35 x^{2}$ из $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 5 x + 7 x - 1}{42}$

Этап 6.15

Добавим $5 x$ и $7 x$ .

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x - 1}{42}$

Этап 6.16

Разобьем дробь $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x - 1}{42}$ на две дроби.

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Этап 6.17

Разобьем дробь $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2} + 12 x}{42}$ на две дроби.

$y = \frac{42 x^{3} - 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Этап 6.18

Разобьем дробь $\frac{42 x^{3} - 41 x^{2}}{42}$ на две дроби.

$y = \frac{42 x^{3}}{42} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Этап 6.19

Сократим общий множитель $42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{42 x^{3}}{42} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Этап 6.19.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Этап 6.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{12 x}{42} + \frac{- 1}{42}$

Этап 6.21

Сократим общий множитель $12$ и $42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.21.1

Вынесем множитель $6$ из $12 x$ .

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{42} + \frac{- 1}{42}$

Этап 6.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.21.2.1

Вынесем множитель $6$ из $42$ .

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{6 (7)} + \frac{- 1}{42}$

Этап 6.21.2.2

Сократим общий множитель.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{6 (2 x)}{6 \cdot 7} + \frac{- 1}{42}$

Этап 6.21.2.3

Перепишем это выражение.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{2 x}{7} + \frac{- 1}{42}$

Этап 6.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = x^{3} - \frac{41 x^{2}}{42} + \frac{2 x}{7} - \frac{1}{42}$

Этап 7