Алгебра Примеры

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{5}$

Этап 1

Корни — это точки пересечения графика с осью x $(y = 0)$ .

$y = 0$ при значениях, соответствующих корням

Этап 2

Корень в $x = \frac{1}{2}$ был найден решением относительно $x$ при условии $x - (\frac{1}{2}) = y$ и $y = 0$ .

Множитель равен $x - \frac{1}{2}$ .

Этап 3

Корень в $x = \frac{1}{4}$ был найден решением относительно $x$ при условии $x - (\frac{1}{4}) = y$ и $y = 0$ .

Множитель равен $x - \frac{1}{4}$ .

Этап 4

Корень в $x = \frac{1}{5}$ был найден решением относительно $x$ при условии $x - (\frac{1}{5}) = y$ и $y = 0$ .

Множитель равен $x - \frac{1}{5}$ .

Этап 5

Объединим все множители в одно уравнение.

$y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{4}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6

Перемножим все множители, чтобы упростить уравнение $y = (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{4}) (x - \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (x (x - \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (x \cdot x + x (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = (x^{2} + x (- \frac{1}{4}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.1.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4})) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{4}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.1.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.1.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.1.4.4

Умножим $2$ на $4$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $- \frac{x}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = (x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x \cdot 2}{4} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = (x^{2} + \frac{- x - x \cdot 2}{4} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.5

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = (x^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x - x \cdot 2}{4} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.6

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- x - x \cdot 2}{4} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = (\frac{x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2}{4} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.8

Чтобы записать $\frac{x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = (\frac{x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Умножим $\frac{x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = (\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.9.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y = (\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2) \cdot 2}{8} + \frac{1}{8}) (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(x^{2} \cdot 4 - x - x \cdot 2) \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$y = \frac{(4 \cdot x^{2} - x - x \cdot 2) \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{(4 x^{2} - x - 2 x) \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$y = \frac{(4 x^{2} - 3 x) \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4 x^{2} \cdot 2 - 3 x \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{8 x^{2} - 3 x \cdot 2 + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$y = \frac{8 x^{2} - 6 x + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot 1 = 8$ , а сумма — $b = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.1.1

Вынесем множитель $- 6$ из $- 6 x$ .

$y = \frac{8 x^{2} - 6 x + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.6.1.2

Запишем $- 6$ как $- 2$ плюс $- 4$

$y = \frac{8 x^{2} + (- 2 - 4) x + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{8 x^{2} - 2 x - 4 x + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{(8 x^{2} - 2 x) - 4 x + 1}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{2 x (4 x - 1) - (4 x - 1)}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.3.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 1$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8} \cdot (x - \frac{1}{5})$

Этап 6.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8} \cdot x + \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8} \cdot (- \frac{1}{5})$

Этап 6.4.2

Объединим $\frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8}$ и $x$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8} + \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8} \cdot (- \frac{1}{5})$

Этап 6.5

Умножим $\frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8} (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $\frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8}$ на $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8} - \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{8 \cdot 5}$

Этап 6.5.2

Умножим $8$ на $5$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8} - \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Этап 6.6

Чтобы записать $\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8} \cdot \frac{5}{5} - \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Этап 6.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $40$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x}{8}$ на $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Этап 6.7.2

Умножим $8$ на $5$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 5}{40} - \frac{(4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Этап 6.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 5 - (4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Этап 6.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Вынесем множитель $(4 x - 1) (2 x - 1)$ из $(4 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 5 - (4 x - 1) (2 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1.1

Вынесем множитель $(4 x - 1) (2 x - 1)$ из $(4 x - 1) (2 x - 1) x \cdot 5$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 5) - (4 x - 1) (2 x - 1)}{40}$

Этап 6.9.1.2

Вынесем множитель $(4 x - 1) (2 x - 1)$ из $- (4 x - 1) (2 x - 1)$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 5) + (4 x - 1) (2 x - 1) (- 1)}{40}$

Этап 6.9.1.3

Вынесем множитель $(4 x - 1) (2 x - 1)$ из $(4 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 5) + (4 x - 1) (2 x - 1) (- 1)$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) (x \cdot 5 - 1)}{40}$

Этап 6.9.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = \frac{(4 x - 1) (2 x - 1) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.10

Развернем $(4 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(4 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(4 x (2 x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(4 x (2 x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{(4 \cdot (2 x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.11.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{(4 \cdot (2 (x \cdot x)) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.11.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{(4 \cdot (2 x^{2}) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.11.1.3

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \frac{(8 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.11.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{(8 x^{2} - 4 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.11.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{(8 x^{2} - 4 x - 2 x - 1 \cdot - 1) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.11.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{(8 x^{2} - 4 x - 2 x + 1) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.11.2

Вычтем $2 x$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{(8 x^{2} - 6 x + 1) (5 x - 1)}{40}$

Этап 6.12

Развернем $(8 x^{2} - 6 x + 1) (5 x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$y = \frac{8 x^{2} (5 x) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{8 \cdot (5 x^{2} x) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{8 \cdot (5 (x \cdot x^{2})) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{8 \cdot (5 (x \cdot x^{2})) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{8 \cdot (5 x^{1 + 2}) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{8 \cdot (5 x^{3}) + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.3

Умножим $8$ на $5$ .

$y = \frac{40 x^{3} + 8 x^{2} \cdot - 1 - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 6 x (5 x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 6 \cdot (5 x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.6.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 6 \cdot (5 (x \cdot x)) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 6 \cdot (5 x^{2}) - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.7

Умножим $- 6$ на $5$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 30 x^{2} - 6 x \cdot - 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.8

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 30 x^{2} + 6 x + 1 (5 x) + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.9

Умножим $5 x$ на $1$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 30 x^{2} + 6 x + 5 x + 1 \cdot - 1}{40}$

Этап 6.13.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 8 x^{2} - 30 x^{2} + 6 x + 5 x - 1}{40}$

Этап 6.14

Вычтем $30 x^{2}$ из $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 38 x^{2} + 6 x + 5 x - 1}{40}$

Этап 6.15

Добавим $6 x$ и $5 x$ .

$y = \frac{40 x^{3} - 38 x^{2} + 11 x - 1}{40}$

Этап 6.16

Разобьем дробь $\frac{40 x^{3} - 38 x^{2} + 11 x - 1}{40}$ на две дроби.

$y = \frac{40 x^{3} - 38 x^{2} + 11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Этап 6.17

Разобьем дробь $\frac{40 x^{3} - 38 x^{2} + 11 x}{40}$ на две дроби.

$y = \frac{40 x^{3} - 38 x^{2}}{40} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Этап 6.18

Разобьем дробь $\frac{40 x^{3} - 38 x^{2}}{40}$ на две дроби.

$y = \frac{40 x^{3}}{40} + \frac{- 38 x^{2}}{40} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Этап 6.19

Сократим общий множитель $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{40 x^{3}}{40} + \frac{- 38 x^{2}}{40} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Этап 6.19.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 38 x^{2}}{40} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Этап 6.20

Сократим общий множитель $- 38$ и $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.20.1

Вынесем множитель $2$ из $- 38 x^{2}$ .

$y = x^{3} + \frac{2 (- 19 x^{2})}{40} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Этап 6.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $40$ .

$y = x^{3} + \frac{2 (- 19 x^{2})}{2 (20)} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Этап 6.20.2.2

Сократим общий множитель.

$y = x^{3} + \frac{2 (- 19 x^{2})}{2 \cdot 20} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Этап 6.20.2.3

Перепишем это выражение.

$y = x^{3} + \frac{- 19 x^{2}}{20} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Этап 6.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = x^{3} - \frac{19 x^{2}}{20} + \frac{11 x}{40} + \frac{- 1}{40}$

Этап 6.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = x^{3} - \frac{19 x^{2}}{20} + \frac{11 x}{40} - \frac{1}{40}$

Этап 7