Алгебра Примеры

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} + 16 x^{2} + 27 x - 18$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$f (x) = 3 x^{3} + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Этап 2

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3} + 27 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $27 x$ .

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 3 x (9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Этап 2.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2}) + 3 x (9)$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Этап 3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 16 x^{2} - 18$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $16 x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 2 (8 x^{2}) - 18$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 2 (8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} + 2 (8 x^{2})$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2} - 9)$

Этап 4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9)$

Этап 5

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (u^{2} + 8 u - 9)$

Этап 6

Разложим $u^{2} + 8 u - 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + i x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $i$ . В данном случае произведение чисел равно $- 9$ , а сумма — $8$ .

$f (x) = - 1, 9$

Этап 6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((u - 1) (u + 9))$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1) (x^{2} + 9))$

Этап 8

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , где $a = x$ и $i = 1$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9))$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

Этап 10

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $3 x (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

Этап 10.2

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 10.3

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $(x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x + 1) (x - 1))$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2 \cdot 1) (x - 1))$

Этап 12

Умножим $2$ на $1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2) (x - 1))$

Этап 13

Развернем $(2 x + 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x (x - 1) + 2 (x - 1))$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1))$

Этап 13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Этап 14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Этап 14.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Этап 14.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Этап 14.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2)$

Этап 14.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 0 - 2)$

Этап 14.3

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2)$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

Этап 16

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + i x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ , а сумма — $i = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

Этап 16.1.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

Этап 16.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

Этап 16.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

Этап 16.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

Этап 16.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 2))$

Этап 16.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 2)$