Алгебра Примеры

$f (x) = (x - 2) {(x + 1)}^{2} (x - 5)$

Этап 1

Определим степень функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим и упорядочим многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x - 2) ((x + 1) (x + 1)) (x - 5)$

Этап 1.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 5)$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 5)$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$(x - 2) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$(x - 2) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$(x - 2) (x^{2} + x + x + 1) (x - 5)$

Этап 1.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$

Этап 1.1.4

Развернем $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$(x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.5.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x^{3} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.5.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$(x^{3} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} + 2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.5.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.5.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$(x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 1.1.5.1.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 4 x - 2) (x - 5)$

Этап 1.1.5.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$(x^{3} + x + 0 - 4 x - 2) (x - 5)$

Этап 1.1.5.2.1.2

Добавим $x^{3} + x$ и $0$ .

$(x^{3} + x - 4 x - 2) (x - 5)$

Этап 1.1.5.2.2

Вычтем $4 x$ из $x$ .

$(x^{3} - 3 x - 2) (x - 5)$

Этап 1.1.6

Развернем $(x^{3} - 3 x - 2) (x - 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 5 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 1.1.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 5 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 1.1.7.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 5 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 1.1.7.1.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot - 5 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 1.1.7.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x^{3}$ .

$x^{4} - 5 \cdot x^{3} - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 1.1.7.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 1.1.7.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 1.1.7.1.4

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 1.1.7.1.5

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x - 2 x + 10$

Этап 1.1.7.2

Вычтем $2 x$ из $15 x$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 13 x + 10$

Этап 1.2

Наибольший показатель степени называется степенью многочлена.

$4$

Этап 2

Поскольку степень четная, края функции будут указывать одно направление.

Четные

Этап 3

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим многочлен и упорядочим его слева направо, начиная с члена с наивысшей степенью.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x - 2) ((x + 1) (x + 1)) (x - 5)$

Этап 3.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 5)$

Этап 3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 5)$

Этап 3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 2) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$(x - 2) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$(x - 2) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$(x - 2) (x^{2} + x + x + 1) (x - 5)$

Этап 3.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$

Этап 3.1.4

Развернем $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$(x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.5.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x^{3} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.5.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$(x^{3} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} + 2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.5.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.5.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$(x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1) (x - 5)$

Этап 3.1.5.1.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 4 x - 2) (x - 5)$

Этап 3.1.5.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.2.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$(x^{3} + x + 0 - 4 x - 2) (x - 5)$

Этап 3.1.5.2.1.2

Добавим $x^{3} + x$ и $0$ .

$(x^{3} + x - 4 x - 2) (x - 5)$

Этап 3.1.5.2.2

Вычтем $4 x$ из $x$ .

$(x^{3} - 3 x - 2) (x - 5)$

Этап 3.1.6

Развернем $(x^{3} - 3 x - 2) (x - 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 5 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 3.1.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 5 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 3.1.7.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 5 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 3.1.7.1.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot - 5 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 3.1.7.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x^{3}$ .

$x^{4} - 5 \cdot x^{3} - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 3.1.7.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 3.1.7.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 5 - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 3.1.7.1.4

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x - 2 x - 2 \cdot - 5$

Этап 3.1.7.1.5

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x - 2 x + 10$

Этап 3.1.7.2

Вычтем $2 x$ из $15 x$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 13 x + 10$

Этап 3.2

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$x^{4}$

Этап 3.3

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$1$

Этап 4

Поскольку старший коэффициент положителен, график возрастает вправо.

Положительные

Этап 5

Используем степень и знак старшего коэффициента для определения поведения функции.

1. Четный и положительный: поднимается влево и поднимается вправо.

2. Четный и отрицательный: опускается влево и опускается вправо.

3. Нечетный и положительный: опускается влево и поднимается вправо.

4. Нечетный и отрицательный: поднимается влево и опускается вправо

Этап 6

Определим поведение.

Возрастает влево и возрастает вправо

Этап 7