Алгебра Примеры

$5 x^{2} + 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $5 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y - 5 x^{2} = 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Этап 1.1.2

Вычтем $9 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} = 10 x - 54 y + 41$

Этап 1.1.3

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x = - 54 y + 41$

Этап 1.1.4

Добавим $54 y$ к обеим частям уравнения.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 54 y = 41$

Этап 1.1.5

Добавим $y$ и $54 y$ .

$- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- 5 x^{2} - 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 5$

$b = - 10$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 5}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 5)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 5}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 20}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $100$ на $- 20$ .

$e = 0 - - 5$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$e = 0 + 5$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$e = 5$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$

Этап 1.3

Подставим $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ вместо $- 5 x^{2} - 10 x$ в уравнение $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5 - 9 y^{2} + 55 y = 41$

Этап 1.4

Перенесем $5$ в правую часть уравнения, прибавив $5$ к обеим частям.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} + 55 y = 41 - 5$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- 9 y^{2} + 55 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 9$

$b = 55$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{55}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Умножим $2$ на $- 9$ .

$d = \frac{55}{- 18}$

Этап 1.5.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{55}{18}$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{55^{2}}{4 \cdot - 9}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $55$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{3025}{4 \cdot - 9}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 9$ .

$e = 0 - \frac{3025}{- 36}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 0 - - \frac{3025}{36}$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- - \frac{3025}{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{3025}{36})$

Этап 1.5.4.2.1.4.2

Умножим $\frac{3025}{36}$ на $1$ .

$e = 0 + \frac{3025}{36}$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $\frac{3025}{36}$ .

$e = \frac{3025}{36}$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ .

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$

Этап 1.6

Подставим $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ вместо $- 9 y^{2} + 55 y$ в уравнение $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36} = 41 - 5$

Этап 1.7

Перенесем $\frac{3025}{36}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{3025}{36}$ к обеим частям.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = 41 - 5 - \frac{3025}{36}$

Этап 1.8

Упростим $41 - 5 - \frac{3025}{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Запишем $41$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} - 5 - \frac{3025}{36}$

Этап 1.8.1.2

Умножим $\frac{41}{1}$ на $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} \cdot \frac{36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Этап 1.8.1.3

Умножим $\frac{41}{1}$ на $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Этап 1.8.1.4

Запишем $- 5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} - \frac{3025}{36}$

Этап 1.8.1.5

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{36}{36} - \frac{3025}{36}$

Этап 1.8.1.6

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5 \cdot 36}{36} - \frac{3025}{36}$

Этап 1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Этап 1.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Умножим $41$ на $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Этап 1.8.3.2

Умножим $- 5$ на $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 180 - 3025}{36}$

Этап 1.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Вычтем $180$ из $1476$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1296 - 3025}{36}$

Этап 1.8.4.2

Вычтем $3025$ из $1296$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{- 1729}{36}$

Этап 1.8.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = - \frac{1729}{36}$

Этап 1.9

Заменим на противоположный знак каждого члена уравнения таким образом, чтобы выражение справа стало положительным.

$5 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1729}{36}$

Этап 1.10

Разделим каждый член на $\frac{1729}{36}$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{5 {(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{36}} + \frac{9 {(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{36}} = \frac{\frac{1729}{36}}{\frac{1729}{36}}$

Этап 1.11

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{180}} + \frac{{(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{324}} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = \frac{\sqrt{8645}}{30}$

$b = \frac{\sqrt{1729}}{18}$

$k = \frac{55}{18}$

$h = - 1$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 1, \frac{55}{18})$

Этап 5