Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - 6 x}$

Этап 1

Определим, является ли функция нечетной, четной или ни той, ни другой, чтобы найти симметрию.

1. Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

2. Четная функция симметрична относительно оси y.

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$f (x) = \frac{x^{3} - 3^{3}}{x^{2} - 6 x}$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})}{x^{2} - 6 x}$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2})}{x^{2} - 6 x}$

Этап 2.1.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} - 6 x}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x \cdot x - 6 x}$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x \cdot x + x \cdot - 6}$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 6$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x (x - 6)}$

Этап 3

Найдем $f (- x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем $f (- x)$ , подставив $- x$ для всех вхождений $x$ в $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{((- x) - 3) ({(- x)}^{2} + 3 (- x) + 9)}{(- x) ((- x) - 6)}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 3) ({(- 1)}^{2} x^{2} + 3 (- x) + 9)}{- x (- x - 6)}$

Этап 3.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 3) (1 x^{2} + 3 (- x) + 9)}{- x (- x - 6)}$

Этап 3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 3) (x^{2} + 3 (- x) + 9)}{- x (- x - 6)}$

Этап 3.2.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{- x (- x - 6)}$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- x) = - \frac{(- x - 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- x - 6)}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- x - 6)}$

Этап 3.3.3

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1 \cdot 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- x - 6)}$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (3)$ .

$f (- x) = - \frac{- (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- x - 6)}$

Этап 3.3.5

Перепишем $- (x + 3)$ в виде $- 1 (x + 3)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- x - 6)}$

Этап 3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- (x) - 6)}$

Этап 3.3.7

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- (x) - 1 \cdot 6)}$

Этап 3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (6)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- (x + 6))}$

Этап 3.3.9

Перепишем $- (x + 6)$ в виде $- 1 (x + 6)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- 1 (x + 6))}$

Этап 3.3.10

Сократим общий множитель.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- 1 (x + 6))}$

Этап 3.3.11

Перепишем это выражение.

$f (- x) = - \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (x + 6)}$

Этап 4

Функция является четной, если $f (- x) = f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Проверим, верно ли $f (- x) = f (x)$ .

Этап 4.2

Так как $- \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (x + 6)}$ $\neq$ $\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x (x - 6)}$ , эта функция не является четной.

Функция является четной

Этап 5

Функция является нечетной, если $f (- x) = - f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x (x - 6)}$ .

$- f (x) = - \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x (x - 6)}$

Этап 5.2

Так как $- \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (x + 6)}$ $\neq$ $- \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x (x - 6)}$ , эта функция не является нечетной.

Функция является нечетной

Этап 6

Функция не является ни четной, ни нечетной

Этап 7

Поскольку данная функция не является нечетной, она не симметрична относительно начала координат.

Нет симметрии относительно начала координат

Этап 8

Поскольку данная функция не является четной, она не симметрична относительно оси Y.

Нет симметрии относительно оси y

Этап 9

Поскольку данная функция не является ни четной, ни нечетной, она не симметрична ни относительно начала координат, ни относительно оси Y.

Функция не симметрична

Этап 10