Алгебра Примеры

$(2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5})$

Этап 1

$x = 2 - \sqrt{5}$ и $x = 2 + \sqrt{5}$ — два различных вещественных решения квадратного уравнения. Это означает, что $x + 2 - \sqrt{5}$ и $x - 2 + \sqrt{5}$ — множители квадратного уравнения.

$(x + 2 - \sqrt{5}) (x - 2 + \sqrt{5}) = 0$

Этап 2

Развернем $(x + 2 - \sqrt{5}) (x - 2 + \sqrt{5})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + x \sqrt{5} + 2 x + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + x \sqrt{5} + 2 x + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$x \cdot x - 2 x + x \sqrt{5} + 2 x + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Этап 3.1.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$x \cdot x + x \sqrt{5} + 0 + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Этап 3.1.3

Добавим $x \cdot x + x \sqrt{5}$ и $0$ .

$x \cdot x + x \sqrt{5} + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Этап 3.1.4

Изменим порядок множителей в членах $x \sqrt{5}$ и $- \sqrt{5} x$ .

$x \cdot x + x \sqrt{5} + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - x \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Этап 3.1.5

Вычтем $x \sqrt{5}$ из $x \sqrt{5}$ .

$x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Этап 3.1.6

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x \cdot x + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Этап 3.2.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Этап 3.2.4

Умножим $- \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - (\sqrt{5} \sqrt{5}) = 0$

Этап 3.2.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - (\sqrt{5} \sqrt{5}) = 0$

Этап 3.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1} = 0$

Этап 3.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2} = 0$

Этап 3.2.5

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0$

Этап 3.2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0$

Этап 3.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}} = 0$

Этап 3.2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}} = 0$

Этап 3.2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 5 = 0$

Этап 3.2.5.5

Найдем экспоненту.

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 1 \cdot 5 = 0$

Этап 3.2.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 5 = 0$

Этап 3.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$x^{2} - 9 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $2 \sqrt{5}$ и $2 \sqrt{5}$ .

$x^{2} - 9 + 4 \sqrt{5} = 0$

Этап 4

Стандартное квадратное уравнение с использованием заданного набора решений ${2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}}$ имеет вид: $y = x^{2} - 9 + 4 \sqrt{5}$ .

$y = x^{2} - 9 + 4 \sqrt{5}$

Этап 5