Алгебра Примеры

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$

Этап 1

$x = \frac{1}{2}$ и $x = \frac{1}{3}$ — два различных вещественных решения квадратного уравнения. Это означает, что $x - \frac{1}{2}$ и $x - \frac{1}{3}$ — множители квадратного уравнения.

$(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) = 0$

Этап 2

Развернем $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Этап 3.1.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Этап 3.1.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Этап 3.1.4

Умножим $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3} = 0$

Этап 3.1.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Этап 3.1.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = 0$

Этап 3.1.4.4

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.2

Чтобы записать $- \frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.3

Чтобы записать $- \frac{x}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.4.4

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.6

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.7

Объединим $x^{2}$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} = 0$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} = 0$

Этап 5

Развернем $(3 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Этап 6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Этап 6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Этап 6.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Этап 6.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Этап 6.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Этап 6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1}{6} = 0$

Этап 6.2

Вычтем $2 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6} = 0$

Этап 7

Разобьем дробь $\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6}$ на две дроби.

$\frac{6 x^{2} - 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 8

Разобьем дробь $\frac{6 x^{2} - 5 x}{6}$ на две дроби.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 9

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 9.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Этап 11

Стандартное квадратное уравнение с использованием заданного набора решений ${\frac{1}{2}, \frac{1}{3}}$ имеет вид: $y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$ .

$y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$

Этап 12