Алгебра Примеры

$\ln (x^{4} + 27)$

Этап 1

Запишем $\ln (x^{4} + 27)$ в виде функции.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{4} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Этап 2.1.1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Этап 2.1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Этап 2.1.1.2.3

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Этап 2.1.1.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.4.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Этап 2.1.1.2.4.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Этап 2.1.1.2.4.3

Объединим $\frac{4}{x^{4} + 27}$ и $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3.2

Перенесем $3$ влево от $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3.3

По правилу суммы производная $x^{4} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3.5

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.6.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3.6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4.3

Добавим $3$ и $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Объединим $4$ и $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.4.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.4.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.4.1.1.3

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.4.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.4.1.3

Умножим $3$ на $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.4.1.4

Умножим $81$ на $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.4.1.5

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.4.2

Вычтем $16 x^{6}$ из $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Этап 2.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Этап 2.2.3.1.1.2

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Этап 2.2.3.1.1.3

Вынесем множитель $- 4 x^{2}$ из $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Этап 2.2.3.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Этап 2.2.3.1.3

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Этап 2.2.3.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Этап 2.2.3.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.5.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Этап 2.2.3.1.5.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.5.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Этап 2.2.3.1.5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 2.2.3.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 2.2.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.2.3.3

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.2.3.3.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.2.3.3.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.3.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.2.3.3.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.2.3.4

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 2.2.3.4.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 2.2.3.4.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 2.2.3.4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 2.2.3.4.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.2.3.4.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.2.3.4.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.2.3.4.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 2.2.3.4.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 2.2.3.4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 2.2.3.4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 2.2.3.4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 2.2.3.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.2.3.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.2.3.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.2.3.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.2.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (x^{4} + 27)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{4} + 27 > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $27$ из обеих частей неравенства.

$x^{4} > - 27$

Этап 3.2.2

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 3.3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 3)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 4 {(- 6)}^{6} + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 4$ на $46656$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 {(- 6)}^{2}}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $324$ на $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 186624 + 11664}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 5.2.1.5

Добавим $- 186624$ и $11664$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{({(- 6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $- 6$ в степень $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $1296$ и $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $1323$ в степень $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 174960$ и $1750329$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $729$ из $- 174960$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $729$ из $1750329$ .

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 6) = \frac{- 240}{2401}$

Этап 5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 6) = - \frac{240}{2401}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (- 6)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- 3, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 {(- 2)}^{6} + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 4$ на $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 {(- 2)}^{2}}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $324$ на $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 256 + 1296}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.1.5

Добавим $- 256$ и $1296$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{({(- 2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $16$ и $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $43$ в степень $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{1040}{1849}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Этап 6.3

График вогнут вверх на интервале $(- 3, 0)$ , поскольку $f'' (- 2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 3, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(0, 3)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 4 {(2)}^{6} + 324 {(2)}^{2}}{{({(2)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2$ в степень $6$ .

$f'' (2) = \frac{- 4 \cdot 64 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 4$ на $64$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 2^{2}}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 324 \cdot 4}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.4

Умножим $324$ на $4$ .

$f'' (2) = \frac{- 256 + 1296}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.1.5

Добавим $- 256$ и $1296$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(2^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{{(16 + 27)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $16$ и $27$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{43^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $43$ в степень $2$ .

$f'' (2) = \frac{1040}{1849}$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1040}{1849}$ .

$\frac{1040}{1849}$

Этап 7.3

График вогнут вверх на интервале $(0, 3)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(0, 3)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8

Подставим любое число из интервала $(3, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 4 {(6)}^{6} + 324 {(6)}^{2}}{{({(6)}^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $6$ в степень $6$ .

$f'' (6) = \frac{- 4 \cdot 46656 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 4$ на $46656$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 6^{2}}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 324 \cdot 36}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.4

Умножим $324$ на $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 186624 + 11664}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.1.5

Добавим $- 186624$ и $11664$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(6^{4} + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $6$ в степень $4$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{{(1296 + 27)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $1296$ и $27$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1323^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $1323$ в степень $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 174960}{1750329}$

Этап 8.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Сократим общий множитель $- 174960$ и $1750329$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Вынесем множитель $729$ из $- 174960$ .

$f'' (6) = \frac{729 (- 240)}{1750329}$

Этап 8.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $729$ из $1750329$ .

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Этап 8.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (6) = \frac{729 \cdot - 240}{729 \cdot 2401}$

Этап 8.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (6) = \frac{- 240}{2401}$

Этап 8.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (6) = - \frac{240}{2401}$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{240}{2401}$ .

$- \frac{240}{2401}$

Этап 8.3

График вогнут вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (6)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 9

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 3)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 3, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(0, 3)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 10