Алгебра Примеры

$x^{4} + 2 x^{3} + 22 x^{2} + 50 x - 75$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$2 x^{3} + 50 x + x^{4} + 22 x^{2} - 75$

Этап 2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} + 50 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 50 x + x^{4} + 22 x^{2} - 75$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2 x$ из $50 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (25) + x^{4} + 22 x^{2} - 75$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (25)$ .

$2 x (x^{2} + 25) + x^{4} + 22 x^{2} - 75$

Этап 3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 25) + {(x^{2})}^{2} + 22 x^{2} - 75$

Этап 4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$2 x (x^{2} + 25) + u^{2} + 22 u - 75$

Этап 5

Разложим $u^{2} + 22 u - 75$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + i x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $i$ . В данном случае произведение чисел равно $- 75$ , а сумма — $22$ .

$- 3, 25$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 x (x^{2} + 25) + (u - 3) (u + 25)$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 25) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 25)$

Этап 7

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $2 x (x^{2} + 25) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $2 x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 25)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(x^{2} - 3) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (2 x) + (x^{2} + 25) (x^{2} - 3)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 25$ из $(x^{2} + 25) (2 x) + (x^{2} + 25) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} + 25) (2 x + x^{2} - 3)$

Этап 8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 25) (2 u + u^{2} - 3)$

Этап 9

Разложим $2 u + u^{2} - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + i x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $i$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $2$ .

$- 1, 3$

Этап 9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} + 25) ((u - 1) (u + 3))$

Этап 10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 25) ((x - 1) (x + 3))$

Этап 10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 25) (x - 1) (x + 3)$

Этап 11

Умножим константу в многочлене $x^{2} + 25$ на $- i^{2}$ , где $i^{2}$ равно $- 1$ .

$(x^{2} - 25 i^{2}) (x - 1) (x + 3)$

Этап 12

Перепишем $25 i^{2}$ в виде ${(5 i)}^{2}$ .

$(x^{2} - {(5 i)}^{2}) (x - 1) (x + 3)$

Этап 13

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , где $a = x$ и $i = 5 i$ .

$(x + 5 i) (x - (5 i)) (x - 1) (x + 3)$

Этап 14

Умножим $5$ на $- 1$ .

$(x + 5 i) (x - 5 i) (x - 1) (x + 3)$