Алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{2}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{15} - \frac{1}{3 \cdot 5}$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{2}{15} - \frac{1}{15}$

Этап 2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 1}{15}$

Этап 2.2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{15}$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{1}{15}} [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \cdot 15 [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 6

Умножим $15$ на $1$ .

$15 [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 7

Умножим $15$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 15 (\frac{2}{5}) & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$[\begin{array}{c} 5 (3) \frac{2}{5} & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.1.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} 5 \cdot 3 \frac{2}{5} & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.1.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} 3 \cdot 2 & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.2

Умножим $3$ на $2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} 6 & 15 (\frac{- 1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.3.2

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 3 (5) \frac{- 1}{3} \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} 6 & 3 \cdot 5 \frac{- 1}{3} \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.3.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} 6 & 5 \cdot - 1 \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 15 (\frac{- 1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.5.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 5 (3) \frac{- 1}{5} & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.5.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 5 \cdot 3 \frac{- 1}{5} & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.5.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 3 \cdot - 1 & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Этап 8.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 3 (5) \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 8.7.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 3 \cdot 5 \frac{1}{3} \end{array}]$

Этап 8.7.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 5 \end{array}]$