Алгебра Примеры

$\frac{3 x}{x - 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{3 y}{y - 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим уравнение на $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{3 y}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $(y - 1) (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 1 x = (\frac{3 y}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y x - x = (\frac{3 y}{y - 1}) (y - 1)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - x = \frac{3 y}{y - 1} (y - 1)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - x = 3 y$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$y x - x - 3 y = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y x - 3 y = x$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - 3 y = x$

Этап 2.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 3 y$ .

$y (x) + y \cdot - 3 = x$

Этап 2.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 3$ .

$y (x - 3) = x$

Этап 2.4.4

Разделим каждый член $y (x - 3) = x$ на $x - 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 3) = x$ на $x - 3$ .

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$

Этап 2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$

Этап 2.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{x - 3}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 3}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 3}$ обратной к $f (x) = \frac{3 x}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{\frac{3 x}{x - 1}}{(\frac{3 x}{x - 1}) - 3}$

Этап 4.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 1} - 3}$

Этап 4.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 1} - 3 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}$

Этап 4.2.4.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 1} + \frac{- 3 (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 4.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 x - 3 (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 4.2.4.4

Перепишем $\frac{3 x - 3 (x - 1)}{x - 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 3 (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) - 3 (x - 1)}{x - 1}}$

Этап 4.2.4.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 1))}{x - 1}}$

Этап 4.2.4.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (- (x - 1))$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - (x - 1))}{x - 1}}$

Этап 4.2.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Этап 4.2.4.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 1)}{x - 1}}$

Этап 4.2.4.4.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (0 + 1)}{x - 1}}$

Этап 4.2.4.4.5

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 \cdot 1}{x - 1}}$

Этап 4.2.4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3}{x - 1}}$

Этап 4.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot (1 (\frac{x - 1}{3}))$

Этап 4.2.6

Умножим $\frac{x - 1}{3}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{3}$

Этап 4.2.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{3}$

Этап 4.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{3}$

Этап 4.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Этап 4.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{x - 1}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{x}{x - 3})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{x}{x - 3})}{(\frac{x}{x - 3}) - 1}$

Этап 4.3.3

Объединим $3$ и $\frac{x}{x - 3}$ .

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 x}{x - 3}}{\frac{x}{x - 3} - 1}$

Этап 4.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 x}{x - 3}}{\frac{x}{x - 3} - 1 \cdot \frac{x - 3}{x - 3}}$

Этап 4.3.4.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 x}{x - 3}}{\frac{x}{x - 3} + \frac{- (x - 3)}{x - 3}}$

Этап 4.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 x}{x - 3}}{\frac{x - (x - 3)}{x - 3}}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $\frac{x - (x - 3)}{x - 3}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 x}{x - 3}}{\frac{x - x + 3}{x - 3}}$

Этап 4.3.4.4.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 x}{x - 3}}{\frac{x - x + 3}{x - 3}}$

Этап 4.3.4.4.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 x}{x - 3}}{\frac{0 + 3}{x - 3}}$

Этап 4.3.4.4.4

Добавим $0$ и $3$ .

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 x}{x - 3}}{\frac{3}{x - 3}}$

Этап 4.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{3 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{3}$

Этап 4.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{3 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{3}$

Этап 4.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{3 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{3}$

Этап 4.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Этап 4.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{x}{x - 3}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 3}$ — обратная к $f (x) = \frac{3 x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x - 3}$