Алгебра Примеры

$\frac{36^{x}}{6^{x}}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{36^{y}}{6^{y}}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{36^{y}}{6^{y}} = x$ .

$\frac{36^{y}}{6^{y}} = x$

Этап 2.2

Умножим обе части на $6^{y}$ .

$\frac{36^{y}}{6^{y}} \cdot 6^{y} = x \cdot 6^{y}$

Этап 2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $6^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{36^{y}}{6^{y}} \cdot 6^{y} = x \cdot 6^{y}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$36^{y} = x \cdot 6^{y}$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (36^{y}) = \ln (x \cdot 6^{y})$

Этап 2.4.2

Развернем $\ln (36^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (36) = \ln (x \cdot 6^{y})$

Этап 2.4.3

Перепишем $\ln (x \cdot 6^{y})$ в виде $\ln (x) + \ln (6^{y})$ .

$y \ln (36) = \ln (x) + \ln (6^{y})$

Этап 2.4.4

Развернем $\ln (6^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (36) = \ln (x) + y \ln (6)$

Этап 2.4.5

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$y \ln (36) - \ln (x) - y \ln (6) = 0$

Этап 2.4.5.2

Добавим $\ln (x)$ к обеим частям уравнения.

$y \ln (36) - y \ln (6) = \ln (x)$

Этап 2.4.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (36) - y \ln (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (36)$ .

$y (\ln (36)) - y \ln (6) = \ln (x)$

Этап 2.4.5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln (6)$ .

$y (\ln (36)) + y (- 1 \ln (6)) = \ln (x)$

Этап 2.4.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (\ln (36)) + y (- 1 \ln (6))$ .

$y (\ln (36) - 1 \ln (6)) = \ln (x)$

Этап 2.4.5.4

Перепишем $- 1 \ln (6)$ в виде $- \ln (6)$ .

$y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$

Этап 2.4.5.5

Разделим каждый член $y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$ на $\ln (36) - \ln (6)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.5.1

Разделим каждый член $y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$ на $\ln (36) - \ln (6)$ .

$\frac{y (\ln (36) - \ln (6))}{\ln (36) - \ln (6)} = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Этап 2.4.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (36) - \ln (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (\ln (36) - \ln (6))}{\ln (36) - \ln (6)} = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Этап 2.4.5.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$ обратной к $f (x) = \frac{36^{x}}{6^{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (\frac{36^{x}}{6^{x}})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Используем правило частного степеней $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln ({(\frac{36}{6})}^{x})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Этап 4.2.3.2

Разделим $36$ на $6$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Этап 4.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (\frac{36}{6})}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $36$ на $6$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (6)}$

Этап 4.2.5

Развернем $\ln (6^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $\ln (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Этап 4.2.6.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Этап 4.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{36}{6})}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Этап 4.3.3.2

Разделим $36$ на $6$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Этап 4.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{36}{6})}}}$

Этап 4.3.4.2

Разделим $36$ на $6$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}$

Этап 4.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\log_{6} (x)}}$

Этап 4.3.5.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{x}$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$ — обратная к $f (x) = \frac{36^{x}}{6^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$