Алгебра Примеры

$h^{3} + 2 h^{2} - 16 \leq 0$

Этап 1

Решим $h \leq 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$h^{3} + 2 h^{2} - 16 = 0$

Этап 1.2

Разложим $h^{3} + 2 h^{2} - 16$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Этап 1.2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 16$

Этап 1.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + 2 \cdot 2^{2} - 16$

Этап 1.2.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 + 2 \cdot 4 - 16$

Этап 1.2.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$8 + 8 - 16$

Этап 1.2.3.5

Добавим $8$ и $8$ .

$16 - 16$

Этап 1.2.3.6

Вычтем $16$ из $16$ .

$0$

Этап 1.2.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $h - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{h^{3} + 2 h^{2} - 16}{h - 2}$

Этап 1.2.5

Разделим $h^{3} + 2 h^{2} - 16$ на $h - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$h$

$2$

$h^{3}$

$2 h^{2}$

$0 h$

$16$

Этап 1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $h^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $h$ .

					$h^{2}$
	$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$

Этап 1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$h^{2}$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			+	$h^{3}$	-	$2 h^{2}$

Этап 1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $h^{3} - 2 h^{2}$ .

				$h^{2}$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$

Этап 1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$h^{2}$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$

Этап 1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$h^{2}$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$	+	$0 h$

Этап 1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 h^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $h$ .

				$h^{2}$	+	$4 h$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$	+	$0 h$

Этап 1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$h^{2}$	+	$4 h$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$	+	$0 h$
					+	$4 h^{2}$	-	$8 h$

Этап 1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 h^{2} - 8 h$ .

				$h^{2}$	+	$4 h$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$	+	$0 h$
					-	$4 h^{2}$	+	$8 h$

Этап 1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$h^{2}$	+	$4 h$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$	+	$0 h$
					-	$4 h^{2}$	+	$8 h$
							+	$8 h$

Этап 1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$h^{2}$	+	$4 h$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$	+	$0 h$
					-	$4 h^{2}$	+	$8 h$
							+	$8 h$	-	$16$

Этап 1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 h$ на член с максимальной степенью в делителе $h$ .

				$h^{2}$	+	$4 h$	+	$8$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$	+	$0 h$
					-	$4 h^{2}$	+	$8 h$
							+	$8 h$	-	$16$

Этап 1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$h^{2}$	+	$4 h$	+	$8$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$	+	$0 h$
					-	$4 h^{2}$	+	$8 h$
							+	$8 h$	-	$16$
							+	$8 h$	-	$16$

Этап 1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 h - 16$ .

				$h^{2}$	+	$4 h$	+	$8$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$	+	$0 h$
					-	$4 h^{2}$	+	$8 h$
							+	$8 h$	-	$16$
							-	$8 h$	+	$16$

Этап 1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$h^{2}$	+	$4 h$	+	$8$
$h$	-	$2$		$h^{3}$	+	$2 h^{2}$	+	$0 h$	-	$16$
			-	$h^{3}$	+	$2 h^{2}$
					+	$4 h^{2}$	+	$0 h$
					-	$4 h^{2}$	+	$8 h$
							+	$8 h$	-	$16$
							-	$8 h$	+	$16$
										$0$

Этап 1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$h^{2} + 4 h + 8$

Этап 1.2.6

Запишем $h^{3} + 2 h^{2} - 16$ в виде набора множителей.

$(h - 2) (h^{2} + 4 h + 8) = 0$

Этап 1.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$h - 2 = 0$

$h^{2} + 4 h + 8 = 0$

Этап 1.4

Приравняем $h - 2$ к $0$ , затем решим относительно $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Приравняем $h - 2$ к $0$ .

$h - 2 = 0$

Этап 1.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$h = 2$

Этап 1.5

Приравняем $h^{2} + 4 h + 8$ к $0$ , затем решим относительно $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Приравняем $h^{2} + 4 h + 8$ к $0$ .

$h^{2} + 4 h + 8 = 0$

Этап 1.5.2

Решим $h^{2} + 4 h + 8 = 0$ относительно $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $h$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$h = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$h = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$h = \frac{- 4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$h = \frac{- 4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$h = \frac{- 4 \pm 4 i}{2}$

Этап 1.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i}{2}$ .

$h = - 2 \pm 2 i$

Этап 1.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$h = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$h = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$h = \frac{- 4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$h = \frac{- 4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$h = \frac{- 4 \pm 4 i}{2}$

Этап 1.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i}{2}$ .

$h = - 2 \pm 2 i$

Этап 1.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$h = - 2 + 2 i$

Этап 1.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.5.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.5.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$h = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$h = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.5.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$h = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$h = \frac{- 4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$h = \frac{- 4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$h = \frac{- 4 \pm 4 i}{2}$

Этап 1.5.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i}{2}$ .

$h = - 2 \pm 2 i$

Этап 1.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$h = - 2 - 2 i$

Этап 1.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$h = - 2 + 2 i, - 2 - 2 i$

Этап 1.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(h - 2) (h^{2} + 4 h + 8) = 0$ верно.

$h = 2, - 2 + 2 i, - 2 - 2 i$

Этап 1.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$h \leq 2$

Этап 2

Используем неравенство $h \leq 2$ для построения формы записи множества.

${h | h \leq 2}$

Этап 3