Алгебра Примеры

$r = \frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d r} (r) = \frac{d}{d r} (\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d r} [\frac{1}{3 s^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $r$ , производная $\frac{1}{3 s^{2}}$ по $r$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d r} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d r} [\frac{1}{s^{2}}] + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ имеет вид $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , где $f (r) = 1$ и $g (r) = s^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{s^{2} \frac{d}{d r} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d r} [s^{2}]}{{(s^{2})}^{2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $r$ , производная $1$ относительно $r$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{s^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d r} [s^{2}]}{{(s^{2})}^{2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ имеет вид $f' (g (r)) g' (r)$ , где $f (r) = r^{2}$ и $g (r) = s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $s$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{s^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d r} [s])}{{(s^{2})}^{2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{s^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u \frac{d}{d r} [s])}{{(s^{2})}^{2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $s$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{s^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 s \frac{d}{d r} [s])}{{(s^{2})}^{2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.5

Перепишем $\frac{d}{d r} [s]$ в виде $s'$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{s^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 s s')}{{(s^{2})}^{2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.6

Умножим $s^{2}$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 s s')}{{(s^{2})}^{2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - (2 s s')}{{(s^{2})}^{2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 2 (s s')}{{(s^{2})}^{2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.9

Вычтем $2 s s'$ из $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 s s'}{{(s^{2})}^{2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.10

Перемножим экспоненты в ${(s^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 s s'}{s^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 s s'}{s^{4}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.11

Сократим общий множитель $s$ и $s^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.11.1

Вынесем множитель $s$ из $- 2 s s'$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{s (- 2 s')}{s^{4}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.11.2.1

Вынесем множитель $s$ из $s^{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{s (- 2 s')}{s \cdot s^{3}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{s (- 2 s')}{s \cdot s^{3}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 s'}{s^{3}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (- \frac{2 s'}{s^{3}}) + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.2.13

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2 s'}{s^{3}}$ .

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} + \frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d r} [- \frac{5}{2 s}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- \frac{5}{2}$ является константой относительно $r$ , производная $- \frac{5}{2 s}$ по $r$ равна $- \frac{5}{2} \frac{d}{d r} [\frac{1}{s}]$ .

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d r} [\frac{1}{s}]$

Этап 3.3.2

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{s \frac{d}{d r} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d r} [s]}{s^{2}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $r$ , производная $1$ относительно $r$ равна $0$ .

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{s \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d r} [s]}{s^{2}}$

Этап 3.3.4

Перепишем $\frac{d}{d r} [s]$ в виде $s'$ .

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{s \cdot 0 - 1 \cdot 1 s'}{s^{2}}$

Этап 3.3.5

Умножим $s$ на $0$ .

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 s'}{s^{2}}$

Этап 3.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{0 - s'}{s^{2}}$

Этап 3.3.7

Вычтем $s'$ из $0$ .

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{- s'}{s^{2}}$

Этап 3.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} (- \frac{s'}{s^{2}})$

Этап 3.3.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} + 1 (\frac{5}{2}) \frac{s'}{s^{2}}$

Этап 3.3.10

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} + \frac{5}{2} \cdot \frac{s'}{s^{2}}$

Этап 3.3.11

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{s'}{s^{2}}$ .

$- \frac{2 s'}{3 s^{3}} + \frac{5 s'}{2 s^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{5 s'}{2 s^{2}} - \frac{2 s'}{3 s^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{5 s'}{2 s^{2}} - \frac{2 s'}{3 s^{3}}$

Этап 5

Решим относительно $s'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{5 s'}{2 s^{2}} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} = 1$ .

$\frac{5 s'}{2 s^{2}} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} = 1$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 s^{2}, 3 s^{3}, 1$

Этап 5.2.2

Так как $2 s^{2}, 3 s^{3}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 3, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $s^{2}, s^{3}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 5.2.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 5.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.7

НОК $2, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 3$

Этап 5.2.8

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 5.2.9

Множители $s^{2}$ — $s \cdot s$ , то есть $s$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$s^{2} = s \cdot s$

$s$ встречается $2$ раз.

Этап 5.2.10

Множители $s^{3}$ — $s \cdot s \cdot s$ , то есть $s$ , умноженный сам на себя $3$ раз.

$s^{3} = s \cdot s \cdot s$

$s$ встречается $3$ раз.

Этап 5.2.11

НОК $s^{2}, s^{3}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$s \cdot s \cdot s$

Этап 5.2.12

Упростим $s \cdot s \cdot s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.1

Умножим $s$ на $s$ .

$s^{2} \cdot s$

Этап 5.2.12.2

Умножим $s^{2}$ на $s$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.2.1

Умножим $s^{2}$ на $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.2.1.1

Возведем $s$ в степень $1$ .

$s^{2} \cdot s^{1}$

Этап 5.2.12.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s^{2 + 1}$

Этап 5.2.12.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$s^{3}$

Этап 5.2.13

НОК $2 s^{2}, 3 s^{3}, 1$ представляет собой произведение числовой части $6$ и переменной части.

$6 s^{3}$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{5 s'}{2 s^{2}} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} = 1$ умножим на $6 s^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{5 s'}{2 s^{2}} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} = 1$ на $6 s^{3}$ .

$\frac{5 s'}{2 s^{2}} (6 s^{3}) - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \frac{5 s'}{2 s^{2}} s^{3} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{5 s'}{2 s^{2}} s^{3} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 s^{2}$ .

$2 (3) \frac{5 s'}{2 (s^{2})} s^{3} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{5 s'}{2 s^{2}} s^{3} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$3 \frac{5 s'}{s^{2}} s^{3} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.3

Объединим $3$ и $\frac{5 s'}{s^{2}}$ .

$\frac{3 (5 s')}{s^{2}} s^{3} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.4

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 s'}{s^{2}} s^{3} - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.5

Сократим общий множитель $s^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.5.1

Вынесем множитель $s^{2}$ из $s^{3}$ .

$\frac{15 s'}{s^{2}} (s^{2} s) - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{15 s'}{s^{2}} (s^{2} s) - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$15 s' s - \frac{2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.6

Сократим общий множитель $3 s^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 s'}{3 s^{3}}$ в числитель.

$15 s' s + \frac{- 2 s'}{3 s^{3}} (6 s^{3}) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.6.2

Вынесем множитель $3 s^{3}$ из $6 s^{3}$ .

$15 s' s + \frac{- 2 s'}{3 s^{3}} (3 s^{3} (2)) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$15 s' s + \frac{- 2 s'}{3 s^{3}} (3 s^{3} \cdot 2) = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$15 s' s - 2 s' \cdot 2 = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.2.1.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$15 s' s - 4 s' = 1 (6 s^{3})$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $6 s^{3}$ на $1$ .

$15 s' s - 4 s' = 6 s^{3}$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $s'$ из $15 s' s - 4 s'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $s'$ из $15 s' s$ .

$s' (15 s) - 4 s' = 6 s^{3}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $s'$ из $- 4 s'$ .

$s' (15 s) + s' \cdot - 4 = 6 s^{3}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $s'$ из $s' (15 s) + s' \cdot - 4$ .

$s' (15 s - 4) = 6 s^{3}$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $s' (15 s - 4) = 6 s^{3}$ на $15 s - 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $s' (15 s - 4) = 6 s^{3}$ на $15 s - 4$ .

$\frac{s' (15 s - 4)}{15 s - 4} = \frac{6 s^{3}}{15 s - 4}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $15 s - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{s' (15 s - 4)}{15 s - 4} = \frac{6 s^{3}}{15 s - 4}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $s'$ на $1$ .

$s' = \frac{6 s^{3}}{15 s - 4}$

Этап 6

Заменим $s'$ на $\frac{d s}{d r}$ .

$\frac{d s}{d r} = \frac{6 s^{3}}{15 s - 4}$