Алгебра Примеры

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

Этап 2

Производная $z$ по $x$ равна $z'$ .

$z'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{y} + \ln (x y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

Этап 3.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

Этап 3.2.5

Объединим $\frac{1}{x y}$ и $y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Этап 3.2.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Сократим общий множитель.

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Этап 3.2.6.2

Перепишем это выражение.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы записать $y x^{y - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

Этап 3.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

Этап 3.3.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

Этап 3.3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

Этап 3.3.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

Этап 3.3.1.6

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Этап 3.3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок множителей в $\frac{x^{y} y + 1}{x}$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

Этап 5

Заменим $z'$ на $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$