Алгебра Примеры

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

Этап 2

Поскольку $z$ является константой относительно $y$ , производная $z$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{y} + \ln (x y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = x$ и $g = y$ .

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Этап 3.2.4

Умножим $x^{y}$ на $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \ln (y)$ и $g (y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 3.3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

Этап 3.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $\frac{1}{x y}$ и $x$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Этап 3.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Этап 3.4.2.3

Объединим $y$ и $\frac{1}{x y}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

Этап 3.4.2.4

Объединим $\frac{y}{x y}$ и $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Этап 3.4.2.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Этап 3.4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Этап 3.4.2.6

Чтобы записать $x' (y x^{y - 1})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Этап 3.4.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Этап 3.4.2.8

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Этап 3.4.2.9

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Этап 3.4.2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Этап 3.4.2.11

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Этап 3.4.2.12

Чтобы записать $x^{y} \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Этап 3.4.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Этап 3.4.2.14

Чтобы записать $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

Этап 3.4.2.15

Чтобы записать $\frac{x'}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 3.4.2.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.16.1

Умножим $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 3.4.2.16.2

Умножим $\frac{x'}{x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

Этап 3.4.2.16.3

Изменим порядок множителей в $y x$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

Этап 3.4.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Этап 3.4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Перенесем $x^{y}$ .

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Умножим $x^{y}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Этап 3.4.4.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Этап 3.4.4.2.2

Умножим $x$ на $x^{y - 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.2.1

Перенесем $x^{y - 1}$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Этап 3.4.4.2.2.2

Умножим $x^{y - 1}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Этап 3.4.4.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Этап 3.4.4.2.2.3

Объединим противоположные члены в $y - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.2.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Этап 3.4.4.2.2.3.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Этап 3.4.4.2.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

Этап 3.4.5

Изменим порядок множителей в $\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ .

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем числитель к нулю.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

Этап 5.2

Решим уравнение относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ .

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

Этап 5.2.2

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $y x^{y + 1} \ln (x)$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y x'$ из $y^{2} x' x^{y} + y x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $y x'$ из $y^{2} x' x^{y}$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $y x'$ из $y x'$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $y x'$ из $y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ .

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Этап 5.2.4

Разделим каждый член $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ на $y (y x^{y} + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Разделим каждый член $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ на $y (y x^{y} + 1)$ .

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 5.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 5.2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 5.2.4.2.2

Сократим общий множитель $y x^{y} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 5.2.4.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 5.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 5.2.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y x^{y + 1} \ln (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 5.2.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 5.2.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 5.2.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.5.1

Перепишем $- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ в виде $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ .

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 5.2.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$