Алгебра Примеры

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} \geq 3$

Этап 1

Решим $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $x^{2} + 2 x - 8$ .

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 2 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Этап 1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$5 x = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим $3 (x^{2} + 2 x - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x = 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8$

Этап 1.2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot - 8$

Этап 1.2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 8$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x - 24$

Этап 1.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 5 x$

Этап 1.3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 6 x - 24 - 5 x = 0$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $5 x$ из $6 x$ .

$3 x^{2} + x - 24 = 0$

Этап 1.3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим на $1$ .

$3 x^{2} + 1 x - 24 = 0$

Этап 1.3.3.1.2

Запишем $1$ как $- 8$ плюс $9$

$3 x^{2} + (- 8 + 9) x - 24 = 0$

Этап 1.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 8 x + 9 x - 24 = 0$

Этап 1.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 8 x) + 9 x - 24 = 0$

Этап 1.3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 8) + 3 (3 x - 8) = 0$

Этап 1.3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 8$ .

$(3 x - 8) (x + 3) = 0$

Этап 1.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 1.3.5

Приравняем $3 x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Приравняем $3 x - 8$ к $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Этап 1.3.5.2

Решим $3 x - 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 8$

Этап 1.3.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 8$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Этап 1.3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Этап 1.3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Этап 1.3.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 8) (x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{8}{3}, - 3$

Этап 1.4

Найдем область определения $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Этап 1.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 1.4.2.2

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.4.2.3

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.4.2.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 4$

Этап 1.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 1.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < \frac{8}{3}$

$x > \frac{8}{3}$

Этап 1.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 1.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (- 6)}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8} \geq 3$

Этап 1.6.1.3

Левая часть $- 1.875$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3.5$

Этап 1.6.2.2

Заменим $x$ на $- 3.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (- 3.5)}{{(- 3.5)}^{2} + 2 (- 3.5) - 8} \geq 3$

Этап 1.6.2.3

Левая часть $6.\overline{36}$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.3

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.6.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8} \geq 3$

Этап 1.6.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.4

Проверим значение на интервале $2 < x < \frac{8}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Выберем значение на интервале $2 < x < \frac{8}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.33$

Этап 1.6.4.2

Заменим $x$ на $2.33$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (2.33)}{{(2.33)}^{2} + 2 (2.33) - 8} \geq 3$

Этап 1.6.4.3

Левая часть $5.57709799$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.6.5

Проверим значение на интервале $x > \frac{8}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{8}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 1.6.5.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{5 (5)}{{(5)}^{2} + 2 (5) - 8} \geq 3$

Этап 1.6.5.3

Левая часть $0.\overline{925}$ меньше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.6.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 2$ Ложь

$2 < x < \frac{8}{3}$ Истина

$x > \frac{8}{3}$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 2$ Ложь

$2 < x < \frac{8}{3}$ Истина

$x > \frac{8}{3}$ Ложь

Этап 1.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 < x \leq - 3$ или $2 < x \leq \frac{8}{3}$

Этап 2

Используем неравенство $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ для построения формы записи множества.

${x | - 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}}$

Этап 3