Алгебра Примеры

$y = 1 + \sqrt{5 x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x}$ в виде ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 1 + {(5 x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (1 + {(5 x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $1 + {(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $5 (x)$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.3

Поскольку $5^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4.2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 4.2.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 4.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 4.2.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.2.11

Объединим $5^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.2.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$