Алгебра Примеры

$\ln (x^{2} + y^{2}) = x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (x y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.5.2

Умножим $2 x + 2 y y'$ на $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.5.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 2.5.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} = x y' + y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 (x + y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 (y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Перенесем $y$ .

$2 x + 2 y' y = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.1.1.3.2

Изменим порядок $2 x$ и $2 y' y$ .

$2 y' y + 2 x = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' y + 2 x = x y' (x^{2} + y^{2}) + y (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y (x^{2} + y^{2})$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x^{1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 y' y + 2 x = x^{2 + 1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.2.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1} y^{2}$

Этап 5.2.2.1.2.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1 + 2}$

Этап 5.2.2.1.2.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Этап 5.2.2.1.2.2

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.2.1

Изменим порядок $x^{3}$ и $y'$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Этап 5.2.2.1.2.2.2

Изменим порядок $x$ и $y'$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Этап 5.2.2.1.2.2.3

Изменим порядок $y$ и $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3}$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} = 2 y' y + 2 x$

Этап 5.3.2

Вычтем $2 y' y$ из обеих частей уравнения.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} - 2 y' y = 2 x$

Этап 5.3.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вычтем $x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + y^{3} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $y^{3}$ из обеих частей уравнения.

$y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' x^{3}$ .

$y' (x^{3}) + y' (x) y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $y' x y^{2}$ .

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Этап 5.3.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y' y$ .

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Этап 5.3.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{3}) + y' (x y^{2})$ .

$y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Этап 5.3.4.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Этап 5.3.5

Разделим каждый член $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ на $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Разделим каждый член $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ на $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.5.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.5.3.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Этап 5.3.5.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$