Алгебра Примеры

$5 x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 8$ ; $x - 1$

Этап 1

Разделим многочлен более высокого порядка на другой многочлен, чтобы найти остаток.

$\frac{5 x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 8}{x - 1}$

Этап 2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

Этап 3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$5 x^{3}$
	$x$	-	$1$		$5 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$8$

Этап 4

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x^{3}$
$x$	-	$1$		$5 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$8$
			+	$5 x^{4}$	-	$5 x^{3}$

Этап 5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{4} - 5 x^{3}$ .

				$5 x^{3}$
$x$	-	$1$		$5 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	-	$8$
			-	$5 x^{4}$	+	$5 x^{3}$

Этап 6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

Этап 7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 8

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Этап 9

Умножим новое частное на делитель.

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 10

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 11

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

Этап 12

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

$7 x$

Этап 13

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

$7 x$

Этап 14

Умножим новое частное на делитель.

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{2}$

$6 x$

Этап 15

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} - 6 x$ .

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{2}$

$6 x$

Этап 16

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{2}$

$6 x$

$x$

Этап 17

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{2}$

$6 x$

$x$

$8$

Этап 18

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x$

$1$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{2}$

$6 x$

$x$

$8$

Этап 19

Умножим новое частное на делитель.

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x$

$1$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{2}$

$6 x$

$x$

$8$

$x$

$1$

Этап 20

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 1$ .

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x$

$1$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{2}$

$6 x$

$x$

$8$

$x$

$1$

Этап 21

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x$

$1$

$x$

$1$

$5 x^{4}$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$8$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{2}$

$6 x$

$x$

$8$

$x$

$1$

$9$

Этап 22

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$5 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 1 - \frac{9}{x - 1}$

Этап 23

Остаток — это часть ответа, которая остается после деления на $x - 1$ .

$- 9$