Алгебра Примеры

$f (x) = (x^{2} - 4 x + 2) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 4 x + 2$ и $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 4$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x^{2} + 4] + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Этап 2

По правилу суммы производная $2 x^{3} - x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [4]) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x + 0) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Этап 5.2

Добавим $6 x^{2} - 2 x$ и $0$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 2]$

Этап 5.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 6.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4 + 0)$

Этап 7.2

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)$ .

$1 ((x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$ .

$1 ((x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)) + 1 ((2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4))$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)) + 1 ((2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4))$ .

$1 ((x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4))$

Этап 8.2

Умножим $(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$ на $1$ .

$(x^{2} - 4 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 4) (2 x - 4)$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$(6 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 4 x + 2) + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Развернем $(6 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 4 x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$6 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} (- 4 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x^{2}) + 6 x^{2} (- 4 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{2 + 2} + 6 x^{2} (- 4 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$6 x^{4} + 6 x^{2} (- 4 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 4 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Перенесем $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.4

Умножим $6$ на $- 4$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.5

Умножим $2$ на $6$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 x (- 4 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 4 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.8.1

Перенесем $x$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 4 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 4 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.9

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.2.10

Умножим $2$ на $- 2$ .

$6 x^{4} - 24 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.3

Вычтем $2 x^{3}$ из $- 24 x^{3}$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x^{2} - 4 x + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.4

Добавим $12 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + (2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$

Этап 8.4.5

Развернем $(2 x - 4) (2 x^{3} - x^{2} + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 x \cdot x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 (x^{3} x) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 (x^{3} x^{1}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 x^{3 + 1} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.3

Умножим $2$ на $2$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 4 - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.7

Умножим $4$ на $2$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 8 x - 4 (2 x^{3}) - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.8

Умножим $2$ на $- 4$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 8 x - 8 x^{3} - 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.9

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 8 x - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 4 \cdot 4$

Этап 8.4.6.10

Умножим $- 4$ на $4$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 8 x - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 16$

Этап 8.4.7

Вычтем $8 x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$6 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 10 x^{3} + 8 x + 4 x^{2} - 16$

Этап 8.5

Добавим $6 x^{4}$ и $4 x^{4}$ .

$10 x^{4} - 26 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x - 10 x^{3} + 8 x + 4 x^{2} - 16$

Этап 8.6

Вычтем $10 x^{3}$ из $- 26 x^{3}$ .

$10 x^{4} - 36 x^{3} + 20 x^{2} - 4 x + 8 x + 4 x^{2} - 16$

Этап 8.7

Добавим $20 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$10 x^{4} - 36 x^{3} + 24 x^{2} - 4 x + 8 x - 16$

Этап 8.8

Добавим $- 4 x$ и $8 x$ .

$10 x^{4} - 36 x^{3} + 24 x^{2} + 4 x - 16$