Алгебра Примеры

${(x - y^{2})}^{3}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- y^{2})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- y^{2})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- y^{2})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- y^{2})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{3}$ на $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(- y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $- y^{2}$ .

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(y^{2})}^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(- 1)}^{0} x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.5

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.6

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{3} y^{2 \cdot 0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $0$ .

$x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.8

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.9

Упростим.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot (- y^{2}) + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} y^{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.11

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.12

Упростим.

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 \cdot x \cdot {(- y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.13

Применим правило умножения к $- y^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.15

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 \cdot 1 x {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.16

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.17

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2 \cdot 2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.17.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.18

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + {(x)}^{0} \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.19

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + 1 \cdot {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.20

Умножим ${(- y^{2})}^{3}$ на $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + {(- y^{2})}^{3}$

Этап 4.21

Применим правило умножения к $- y^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}$

Этап 4.22

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} - {(y^{2})}^{3}$

Этап 4.23

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} - y^{2 \cdot 3}$

Этап 4.23.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} - y^{6}$