Алгебра Примеры

${(x^{2} - 1)}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{4 - k} \cdot {(- 1)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 0} \cdot {(- 1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 1} \cdot {(- 1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 2} \cdot {(- 1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(x^{2})}^{4 - 4} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(x^{2})}^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x^{2})}^{4}$ на $1$ .

${(x^{2})}^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x^{8} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{8} \cdot 1 + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.4

Умножим $x^{8}$ на $1$ .

$x^{8} + 4 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{8} + 4 \cdot x^{6} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.6

Найдем экспоненту.

$x^{8} + 4 x^{6} \cdot - 1 + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 \cdot x^{4} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.10

Умножим $6$ на $1$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.11

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot x^{2 \cdot 1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.11.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 \cdot x^{2} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} + 4 x^{2} \cdot - 1 + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.13

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} - 4 x^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.14

Умножим ${(x^{2})}^{0}$ на $1$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} - 4 x^{2} + {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.15

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2 \cdot 0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.15.2

Умножим $2$ на $0$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} - 4 x^{2} + x^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.16

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} - 4 x^{2} + 1 \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 4.17

Умножим ${(- 1)}^{4}$ на $1$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} - 4 x^{2} + {(- 1)}^{4}$

Этап 4.18

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$x^{8} - 4 x^{6} + 6 x^{4} - 4 x^{2} + 1$