Алгебра Примеры

$f (x) = 3 x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 30$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm 6, \pm 10, \pm \frac{10}{3}, \pm 15, \pm 30$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$3 {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} - 15 \cdot 2 + 30$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 \cdot 8 - 6 {(2)}^{2} - 15 \cdot 2 + 30$

Этап 4.1.2

Умножим $3$ на $8$ .

$24 - 6 {(2)}^{2} - 15 \cdot 2 + 30$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$24 - 6 \cdot 4 - 15 \cdot 2 + 30$

Этап 4.1.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$24 - 24 - 15 \cdot 2 + 30$

Этап 4.1.5

Умножим $- 15$ на $2$ .

$24 - 24 - 30 + 30$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $24$ из $24$ .

$0 - 30 + 30$

Этап 4.2.2

Вычтем $30$ из $0$ .

$- 30 + 30$

Этап 4.2.3

Добавим $- 30$ и $30$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 30}{x - 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$3$	$- 6$	$- 15$	$30$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$3$	$- 6$	$- 15$	$30$

	$3$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(- 6)$ .

$2$	$3$	$- 6$	$- 15$	$30$
		$6$
	$3$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$- 6$	$- 15$	$30$
		$6$
	$3$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 15)$ .

$2$	$3$	$- 6$	$- 15$	$30$
		$6$	$0$
	$3$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$- 6$	$- 15$	$30$
		$6$	$0$
	$3$	$0$	$- 15$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 15)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 30)$ под следующим членом делимого $(30)$ .

$2$	$3$	$- 6$	$- 15$	$30$
		$6$	$0$	$- 30$
	$3$	$0$	$- 15$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$- 6$	$- 15$	$30$
		$6$	$0$	$- 30$
	$3$	$0$	$- 15$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$3 x^{2} + 0 x - 15$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$3 x^{2} - 15$

Этап 7

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$(x - 2) (3 (x^{2}) - 15)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$(x - 2) (3 x^{2} + 3 \cdot - 5)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 \cdot - 5$ .

$(x - 2) (3 (x^{2} - 5))$

Этап 8

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3}$ .

$3 (x^{3}) - 6 x^{2} - 15 x + 30 = 0$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x^{2}$ .

$3 (x^{3}) + 3 (- 2 x^{2}) - 15 x + 30 = 0$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 15 x$ .

$3 (x^{3}) + 3 (- 2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 30 = 0$

Этап 8.1.4

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$3 x^{3} + 3 (- 2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 10 = 0$

Этап 8.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3} + 3 (- 2 x^{2})$ .

$3 (x^{3} - 2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 10 = 0$

Этап 8.1.6

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{3} - 2 x^{2}) + 3 (- 5 x)$ .

$3 (x^{3} - 2 x^{2} - 5 x) + 3 \cdot 10 = 0$

Этап 8.1.7

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{3} - 2 x^{2} - 5 x) + 3 \cdot 10$ .

$3 (x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 10) = 0$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$3 ((x^{3} - 2 x^{2}) - 5 x + 10) = 0$

Этап 8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 (x^{2} (x - 2) - 5 (x - 2)) = 0$

Этап 8.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$3 ((x - 2) (x^{2} - 5)) = 0$

Этап 8.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 2) (x^{2} - 5) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 10

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 10.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 11

Приравняем $x^{2} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x^{2} - 5$ к $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Этап 11.2

Решим $x^{2} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 5$

Этап 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 11.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 11.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 2) (x^{2} - 5) = 0$ верно.

$x = 2, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$x = 2, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$

Этап 14