Алгебра Примеры

$y = - \frac{1}{5} {(x + 5)}^{2} + 2$

Этап 1

Простейшая форма функция является самой простой формой функции данного типа.

$y = x^{2}$

Этап 2

Упростим $- \frac{1}{5} \cdot {(x + 5)}^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(x + 5)}^{2}$ в виде $(x + 5) (x + 5)$ .

$y = - \frac{1}{5} \cdot ((x + 5) (x + 5)) + 2$

Этап 2.1.2

Развернем $(x + 5) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) + 2$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) + 2$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + 2$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + 2$

Этап 2.1.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) + 2$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) + 2$

Этап 2.1.3.2

Добавим $5 x$ и $5 x$ .

$y = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) + 2$

Этап 2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{5} x^{2} - \frac{1}{5} (10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{5}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - \frac{1}{5} (10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Этап 2.1.5.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} (10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Этап 2.1.5.2.2

Вынесем множитель $5$ из $10 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} (5 (2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Этап 2.1.5.2.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} (5 (2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Этап 2.1.5.2.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 1 (2 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Этап 2.1.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - \frac{1}{5} \cdot 25 + 2$

Этап 2.1.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{5}$ в числитель.

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot 25 + 2$

Этап 2.1.5.4.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (5)) + 2$

Этап 2.1.5.4.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 5) + 2$

Этап 2.1.5.4.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 1 \cdot 5 + 2$

Этап 2.1.5.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 5 + 2$

Этап 2.2

Добавим $- 5$ и $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$

Этап 3

Предположим, что $y = x^{2}$ есть $f (x) = x^{2}$ , а $y = - \frac{1}{5} \cdot {(x + 5)}^{2} + 2$ есть $g (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$

Этап 4

Описываемое преобразование из $f (x) = x^{2}$ в $g (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$

Этап 5

Найдем форму $g (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$ с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{5} - 2 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$b = - 2$

$c = - 3$

Этап 5.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{5})}$

Этап 5.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Этап 5.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Этап 5.1.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{5}}$

Этап 5.1.3.2.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$d = \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Этап 5.1.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 1 \cdot 5$

Этап 5.1.3.2.4

Умножим $5$ на $1$ .

$d = 5$

Этап 5.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Этап 5.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = - 3 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{5})}$

Этап 5.1.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 3 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Этап 5.1.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{5}$ .

$e = - 3 - \frac{4}{\frac{- 4}{5}}$

Этап 5.1.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - 3 - \frac{4}{- \frac{4}{5}}$

Этап 5.1.4.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = - 3 - (4 (- \frac{5}{4}))$

Этап 5.1.4.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{4}$ в числитель.

$e = - 3 - (4 (\frac{- 5}{4}))$

Этап 5.1.4.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$e = - 3 - (4 (\frac{- 5}{4}))$

Этап 5.1.4.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$e = - 3 - - 5$

Этап 5.1.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$e = - 3 + 5$

Этап 5.1.4.2.2

Добавим $- 3$ и $5$ .

$e = 2$

Этап 5.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{5} {(x + 5)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{5} {(x + 5)}^{2} + 2$

Этап 5.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{5} \cdot {(x + 5)}^{2} + 2$

Этап 6

Горизонтальный сдвиг зависит от значения $h$ . Горизонтальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x + h)$ — график сдвинут влево на $h$ ед.

$g (x) = f (x - h)$ — график сдвинут вправо на $h$ ед.

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $5$

Этап 7

Смещение по вертикали зависит от значения $k$ . Вертикальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x) + k$ — график сдвинут вверх на $k$ ед.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Смещение по вертикали: сдвинут вверх на $2$ ед.

Этап 8

График отражен относительно оси x, если $g (x) = - f (x)$ .

Отражение относительно оси X: отражено

Этап 9

График отражен относительно оси y, если $g (x) = f (- x)$ .

Отражение относительно оси Y: нет

Этап 10

Сжатие и растяжение зависят от значения $a$ .

Если $a$ больше $1$ : растянут по вертикали

Если $a$ между $0$ и $1$ : сжат по вертикали

Сжатие или растяжение по вертикали: сжат

Этап 11

Сравним и перечислим преобразования.

Порождающая функция: $y = x^{2}$

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $5$

Смещение по вертикали: сдвинут вверх на $2$ ед.

Отражение относительно оси X: отражено

Отражение относительно оси Y: нет

Сжатие или растяжение по вертикали: сжат

Этап 12