Алгебра Примеры

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 72 x = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $9 x^{2} - 72 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 72$

$c = 0$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 72$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (9)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 36}{9}$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $- 36$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 36$ .

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)}$

Этап 1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $- 72$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Разделим $5184$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Этап 1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $144$ .

$e = 0 - 144$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $144$ из $0$ .

$e = - 144$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(x - 4)}^{2} - 144$ .

$9 {(x - 4)}^{2} - 144$

Этап 1.2

Подставим $9 {(x - 4)}^{2} - 144$ вместо $9 x^{2} - 72 x$ в уравнение $9 x^{2} - 4 y^{2} - 72 x = 0$ .

$9 {(x - 4)}^{2} - 144 - 4 y^{2} = 0$

Этап 1.3

Перенесем $- 144$ в правую часть уравнения, прибавив $144$ к обеим частям.

$9 {(x - 4)}^{2} - 4 y^{2} = 0 + 144$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $144$ .

$9 {(x - 4)}^{2} - 4 y^{2} = 144$

Этап 1.5

Разделим каждый член на $144$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 {(x - 4)}^{2}}{144} - \frac{4 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Этап 1.6

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 4$

$b = 6$

$k = 0$

$h = 4$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(6)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + {(6)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 36}$

Этап 4.3.3

Добавим $16$ и $36$ .

$\sqrt{52}$

Этап 4.3.4

Перепишем $52$ в виде $2^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$\sqrt{4 (13)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 13}$

Этап 4.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{13}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4 + 2 \sqrt{13}, 0)$

Этап 5.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 5.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4 - 2 \sqrt{13}, 0)$

Этап 5.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(4 + 2 \sqrt{13}, 0), (4 - 2 \sqrt{13}, 0)$

Этап 6