Алгебра Примеры

${(y - x^{2})}^{3}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(y - x^{2})}^{3}$ $n = 3$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $4$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $y$ и $b$ $- x^{2}$ в выражение.

$1 {(y)}^{3} {(- x^{2})}^{0} + 3 {(y)}^{2} {(- x^{2})}^{1} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(y)}^{3}$ на $1$ .

${(y)}^{3} {(- x^{2})}^{0} + 3 {(y)}^{2} {(- x^{2})}^{1} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $- x^{2}$ .

$y^{3} ({(- 1)}^{0} {(x^{2})}^{0}) + 3 {(y)}^{2} {(- x^{2})}^{1} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(- 1)}^{0} y^{3} {(x^{2})}^{0} + 3 {(y)}^{2} {(- x^{2})}^{1} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 y^{3} {(x^{2})}^{0} + 3 {(y)}^{2} {(- x^{2})}^{1} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.5

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} {(x^{2})}^{0} + 3 {(y)}^{2} {(- x^{2})}^{1} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} x^{2 \cdot 0} + 3 {(y)}^{2} {(- x^{2})}^{1} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $0$ .

$y^{3} x^{0} + 3 {(y)}^{2} {(- x^{2})}^{1} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$y^{3} \cdot 1 + 3 {(y)}^{2} {(- x^{2})}^{1} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.8

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} + 3 {(y)}^{2} {(- x^{2})}^{1} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.9

Упростим.

$y^{3} + 3 y^{2} (- x^{2}) + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{3} + 3 \cdot - 1 y^{2} x^{2} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.11

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 {(y)}^{1} {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.12

Упростим.

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y {(- x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.13

Применим правило умножения к $- x^{2}$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y ({(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}) + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} y {(x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.15

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 y {(x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.16

Умножим $3$ на $1$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y {(x^{2})}^{2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.17

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y x^{2 \cdot 2} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.17.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y x^{4} + 1 {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.18

Умножим ${(y)}^{0}$ на $1$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y x^{4} + {(y)}^{0} {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.19

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y x^{4} + 1 {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.20

Умножим ${(- x^{2})}^{3}$ на $1$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y x^{4} + {(- x^{2})}^{3}$

Этап 4.21

Применим правило умножения к $- x^{2}$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y x^{4} + {(- 1)}^{3} {(x^{2})}^{3}$

Этап 4.22

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y x^{4} - {(x^{2})}^{3}$

Этап 4.23

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.23.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y x^{4} - x^{2 \cdot 3}$

Этап 4.23.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y^{3} - 3 y^{2} x^{2} + 3 y x^{4} - x^{6}$