Алгебра Примеры

$x^{6} - 8 x^{5} + 12 x^{4} + 80 x^{3} - 416 x^{2} + 768 x - 512$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128, \pm 256, \pm 512$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128, \pm 256, \pm 512$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(2)}^{6} - 8 {(2)}^{5} + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $6$ .

$64 - 8 {(2)}^{5} + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Этап 4.1.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$64 - 8 \cdot 32 + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Этап 4.1.3

Умножим $- 8$ на $32$ .

$64 - 256 + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Этап 4.1.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$64 - 256 + 12 \cdot 16 + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Этап 4.1.5

Умножим $12$ на $16$ .

$64 - 256 + 192 + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Этап 4.1.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$64 - 256 + 192 + 80 \cdot 8 - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Этап 4.1.7

Умножим $80$ на $8$ .

$64 - 256 + 192 + 640 - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Этап 4.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$64 - 256 + 192 + 640 - 416 \cdot 4 + 768 (2) - 512$

Этап 4.1.9

Умножим $- 416$ на $4$ .

$64 - 256 + 192 + 640 - 1664 + 768 (2) - 512$

Этап 4.1.10

Умножим $768$ на $2$ .

$64 - 256 + 192 + 640 - 1664 + 1536 - 512$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $256$ из $64$ .

$- 192 + 192 + 640 - 1664 + 1536 - 512$

Этап 4.2.2

Добавим $- 192$ и $192$ .

$0 + 640 - 1664 + 1536 - 512$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $640$ .

$640 - 1664 + 1536 - 512$

Этап 4.2.4

Вычтем $1664$ из $640$ .

$- 1024 + 1536 - 512$

Этап 4.2.5

Добавим $- 1024$ и $1536$ .

$512 - 512$

Этап 4.2.6

Вычтем $512$ из $512$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{6} - 8 x^{5} + 12 x^{4} + 80 x^{3} - 416 x^{2} + 768 x - 512}{x - 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(- 8)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$
	$1$	$- 6$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 6)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 12)$ под следующим членом делимого $(12)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$
	$1$	$- 6$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$
	$1$	$- 6$	$0$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(80)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$
	$1$	$- 6$	$0$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(80)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(160)$ под следующим членом делимого $(- 416)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$

Этап 6.11

Умножим последний элемент в области результата $(- 256)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 512)$ под следующим членом делимого $(768)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$

Этап 6.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$	$256$

Этап 6.13

Умножим последний элемент в области результата $(256)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(512)$ под следующим членом делимого $(- 512)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$	$512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$	$256$

Этап 6.14

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$	$512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$	$256$	$0$

Этап 6.15

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{5} + - 6 x^{4} + 0 x^{3} + 80 x^{2} + (- 256) x + 256$

Этап 6.16

Упростим частное многочленов.

$x^{5} - 6 x^{4} + 80 x^{2} - 256 x + 256$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} - 256 x - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - 256 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 256 x - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 256 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 256 - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x \cdot - 256$ .

$x (x^{4} - 256) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 256) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.4

Перепишем $256$ в виде $16^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 16^{2}) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 16$ .

$x ((x^{2} + 16) (x^{2} - 16)) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x ((x^{2} + 16) (x^{2} - 4^{2})) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$x ((x^{2} + 16) ((x + 4) (x - 4))) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.6.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.7

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{4}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4}) + 80 x^{2} + 256 = 0$

Этап 7.1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $80 x^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (40 x^{2}) + 256 = 0$

Этап 7.1.7.3

Вынесем множитель $2$ из $256$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (40 x^{2}) + 2 (128) = 0$

Этап 7.1.7.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 x^{4}) + 2 (40 x^{2})$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4} + 40 x^{2}) + 2 (128) = 0$

Этап 7.1.7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 x^{4} + 40 x^{2}) + 2 (128)$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4} + 40 x^{2} + 128) = 0$

Этап 7.1.8

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 {(x^{2})}^{2} + 40 x^{2} + 128) = 0$

Этап 7.1.9

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} + 40 u + 128) = 0$

Этап 7.1.10

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 128 = - 384$ , а сумма — $b = 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.1.1

Вынесем множитель $40$ из $40 u$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} + 40 (u) + 128) = 0$

Этап 7.1.10.1.2

Запишем $40$ как $- 8$ плюс $48$

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} + (- 8 + 48) u + 128) = 0$

Этап 7.1.10.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} - 8 u + 48 u + 128) = 0$

Этап 7.1.10.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 u^{2} - 8 u) + 48 u + 128) = 0$

Этап 7.1.10.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (u (- 3 u - 8) - 16 (- 3 u - 8)) = 0$

Этап 7.1.10.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 u - 8$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 u - 8) (u - 16)) = 0$

Этап 7.1.11

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) (x^{2} - 16)) = 0$

Этап 7.1.12

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Этап 7.1.13

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.13.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.13.1.1

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Этап 7.1.13.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Этап 7.1.13.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 7.1.14

Вынесем множитель $(x + 4) (x - 4)$ из $x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.14.1

Вынесем множитель $(x + 4) (x - 4)$ из $x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ .

$(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16)) + 2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 7.1.14.2

Вынесем множитель $(x + 4) (x - 4)$ из $2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4)$ .

$(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16)) + (x + 4) (x - 4) (2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Этап 7.1.14.3

Вынесем множитель $(x + 4) (x - 4)$ из $(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16)) + (x + 4) (x - 4) (2 (- 3 x^{2} - 8))$ .

$(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16) + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Этап 7.1.15

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Этап 7.1.16

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.16.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.16.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Этап 7.1.16.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 4) (x - 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Этап 7.1.16.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Этап 7.1.17

Перенесем $16$ влево от $x$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Этап 7.1.18

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x + 2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 8) = 0$

Этап 7.1.19

Умножим $- 3$ на $2$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x - 6 x^{2} + 2 \cdot - 8) = 0$

Этап 7.1.20

Умножим $2$ на $- 8$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x - 6 x^{2} - 16) = 0$

Этап 7.1.21

Изменим порядок членов.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16) = 0$

Этап 7.1.22

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.22.1

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.22.1.1

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.22.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Этап 7.1.22.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.22.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 16$

Этап 7.1.22.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 16$

Этап 7.1.22.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 16 \cdot 2 - 16$

Этап 7.1.22.1.3.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$8 - 24 + 16 \cdot 2 - 16$

Этап 7.1.22.1.3.5

Вычтем $24$ из $8$ .

$- 16 + 16 \cdot 2 - 16$

Этап 7.1.22.1.3.6

Умножим $16$ на $2$ .

$- 16 + 32 - 16$

Этап 7.1.22.1.3.7

Добавим $- 16$ и $32$ .

$16 - 16$

Этап 7.1.22.1.3.8

Вычтем $16$ из $16$ .

$0$

Этап 7.1.22.1.4

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16}{x - 2}$

Этап 7.1.22.1.5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.22.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$16 x$

$16$

Этап 7.1.22.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$

Этап 7.1.22.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 7.1.22.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 7.1.22.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 7.1.22.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 7.1.22.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 7.1.22.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 7.1.22.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 7.1.22.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$

Этап 7.1.22.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$

Этап 7.1.22.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$

Этап 7.1.22.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$
							+	$8 x$	-	$16$

Этап 7.1.22.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x - 16$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$
							-	$8 x$	+	$16$

Этап 7.1.22.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$
							-	$8 x$	+	$16$
										$0$

Этап 7.1.22.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x + 8$

Этап 7.1.22.1.6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16$ в виде набора множителей.

$(x + 4) (x - 4) ((x - 2) (x^{2} - 4 x + 8)) = 0$

Этап 7.1.22.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 4) (x - 4) (x - 2) (x^{2} - 4 x + 8) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 7.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7.6

Приравняем $x^{2} - 4 x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Приравняем $x^{2} - 4 x + 8$ к $0$ .

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

Этап 7.6.2

Решим $x^{2} - 4 x + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

Этап 7.6.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Этап 7.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

Этап 7.6.2.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Этап 7.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + 2 i$

Этап 7.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 7.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

Этап 7.6.2.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Этап 7.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - 2 i$

Этап 7.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Этап 7.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x - 4) (x - 2) (x^{2} - 4 x + 8) = 0$ верно.

$x = - 4, 4, 2, 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 2) (x + 4) (x - 4) (x - 2 - 2 i) (x - 2 + 2 i)$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{6} - 8 x^{5} + 12 x^{4} + 80 x^{3} - 416 x^{2} + 768 x - 512$ .

$x = 2, - 4, 4, 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Этап 10