Алгебра Примеры

$y = 64 {(x - 2)}^{3} - 1$

Этап 1

Упростим $64 {(x - 2)}^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = 64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

Этап 1.1.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1$

Этап 1.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1$

Этап 1.1.2.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Умножим $- 6$ на $64$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

Этап 1.1.4.2

Умножим $12$ на $64$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $64$ на $- 8$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из $- 512$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513$

Этап 2

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 19, \pm 27, \pm 57, \pm 171, \pm 513$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Этап 3

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{16}, \pm \frac{1}{32}, \pm \frac{1}{64}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm \frac{3}{16}, \pm \frac{3}{32}, \pm \frac{3}{64}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm \frac{9}{16}, \pm \frac{9}{32}, \pm \frac{9}{64}, \pm 19, \pm \frac{19}{2}, \pm \frac{19}{4}, \pm \frac{19}{8}, \pm \frac{19}{16}, \pm \frac{19}{32}, \pm \frac{19}{64}, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm \frac{27}{8}, \pm \frac{27}{16}, \pm \frac{27}{32}, \pm \frac{27}{64}, \pm 57, \pm \frac{57}{2}, \pm \frac{57}{4}, \pm \frac{57}{8}, \pm \frac{57}{16}, \pm \frac{57}{32}, \pm \frac{57}{64}, \pm 171, \pm \frac{171}{2}, \pm \frac{171}{4}, \pm \frac{171}{8}, \pm \frac{171}{16}, \pm \frac{171}{32}, \pm \frac{171}{64}, \pm 513, \pm \frac{513}{2}, \pm \frac{513}{4}, \pm \frac{513}{8}, \pm \frac{513}{16}, \pm \frac{513}{32}, \pm \frac{513}{64}$

Этап 4

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$64 {(\frac{9}{4})}^{3} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{9}{4}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило умножения к $\frac{9}{4}$ .

$64 \frac{9^{3}}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.2

Возведем $9$ в степень $3$ .

$64 \frac{729}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.4

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Сократим общий множитель.

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.4.2

Перепишем это выражение.

$729 - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.5

Применим правило умножения к $\frac{9}{4}$ .

$729 - 384 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.6

Возведем $9$ в степень $2$ .

$729 - 384 \frac{81}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.7

Возведем $4$ в степень $2$ .

$729 - 384 (\frac{81}{16}) + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.8

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Вынесем множитель $16$ из $- 384$ .

$729 + 16 (- 24) \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.8.2

Сократим общий множитель.

$729 + 16 \cdot - 24 \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.8.3

Перепишем это выражение.

$729 - 24 \cdot 81 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.9

Умножим $- 24$ на $81$ .

$729 - 1944 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Этап 5.1.10

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $768$ .

$729 - 1944 + 4 (192) \frac{9}{4} - 513$

Этап 5.1.10.2

Сократим общий множитель.

$729 - 1944 + 4 \cdot 192 \frac{9}{4} - 513$

Этап 5.1.10.3

Перепишем это выражение.

$729 - 1944 + 192 \cdot 9 - 513$

Этап 5.1.11

Умножим $192$ на $9$ .

$729 - 1944 + 1728 - 513$

Этап 5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1944$ из $729$ .

$- 1215 + 1728 - 513$

Этап 5.2.2

Добавим $- 1215$ и $1728$ .

$513 - 513$

Этап 5.2.3

Вычтем $513$ из $513$ .

$0$

Этап 6

Поскольку $\frac{9}{4}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{9}{4}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513}{x - \frac{9}{4}}$

Этап 7

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

Этап 7.2

Первое число в делимом $(64)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

	$64$

Этап 7.3

Умножим последний элемент в области результата $(64)$ на делитель $(\frac{9}{4})$ и запишем их произведение $(144)$ под следующим членом делимого $(- 384)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$

Этап 7.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$	$- 240$

Этап 7.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 240)$ на делитель $(\frac{9}{4})$ и запишем их произведение $(- 540)$ под следующим членом делимого $(768)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$

Этап 7.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$	$228$

Этап 7.7

Умножим последний элемент в области результата $(228)$ на делитель $(\frac{9}{4})$ и запишем их произведение $(513)$ под следующим членом делимого $(- 513)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$

Этап 7.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$	$0$

Этап 7.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$64 x^{2} + - 240 x + 228$

Этап 7.10

Упростим частное многочленов.

$64 x^{2} - 240 x + 228$

Этап 8

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{2} - 240 x + 228$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $4$ из $64 x^{2}$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) - 240 x + 228)$

Этап 8.2

Вынесем множитель $4$ из $- 240 x$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 228)$

Этап 8.3

Вынесем множитель $4$ из $228$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 4 (57))$

Этап 8.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x)$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57))$

Этап 8.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57)$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x + 57))$

Этап 9

Упростим $64 {(x - 2)}^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Этап 9.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Этап 9.1.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Этап 9.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Этап 9.1.2.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1 = 0$

Этап 9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Этап 9.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Умножим $- 6$ на $64$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Этап 9.1.4.2

Умножим $12$ на $64$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Этап 9.1.4.3

Умножим $64$ на $- 8$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1 = 0$

Этап 9.2

Вычтем $1$ из $- 512$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513 = 0$

Этап 10

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = \frac{9}{4}$

Этап 11