Алгебра Примеры

$x^{3} = - i$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $x^{3}$ .

$u^{3} = - i$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Этап 5

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Этап 5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| z | = 1$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Этап 7

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет отрицательное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 8

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{2}$ и $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 9

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$u^{3} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 10

Используем формулу Муавра, чтобы найти уравнение для $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = - i = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 11

Приравняем модуль тригонометрической формы к $r^{3}$ , чтобы найти значение $r$ .

$r^{3} = 1$

Этап 12

Решим уравнение относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$r^{3} - 1 = 0$

Этап 12.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$r^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 12.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = r$ и $b = 1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 12.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Умножим $r$ на $1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

Этап 12.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

Этап 12.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

Этап 12.4

Приравняем $r - 1$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Приравняем $r - 1$ к $0$ .

$r - 1 = 0$

Этап 12.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$r = 1$

Этап 12.5

Приравняем $r^{2} + r + 1$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Приравняем $r^{2} + r + 1$ к $0$ .

$r^{2} + r + 1 = 0$

Этап 12.5.2

Решим $r^{2} + r + 1 = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 12.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.5.2.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.5.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Этап 12.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 12.5.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 12.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.5.2.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.5.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 12.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 12.5.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 12.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ верно.

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 13

Найдем приблизительное значение $r$ .

$r = 1$

Этап 14

Найдем возможные значения $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ и $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

Этап 15

Нахождение всех возможных значений $θ$ приводит к уравнению $3 θ = 2 π n$ .

$3 θ = 2 π n$

Этап 16

Найдем значение $θ$ для $r = 0$ .

$3 θ = 2 π (0)$

Этап 17

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $2 π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$3 θ = 0 π$

Этап 17.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$3 θ = 0$

Этап 17.2

Разделим каждый член $3 θ = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Разделим каждый член $3 θ = 0$ на $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 17.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 17.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Этап 17.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$θ = 0$

Этап 18

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{3} = - i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Этап 19

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Умножим $\cos (0) + i \sin (0)$ на $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Этап 19.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Этап 19.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Этап 19.2.3

Умножим $i$ на $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Этап 19.3

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{0} = 1$

Этап 20

Подставим $x^{3}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{0} = 0 + 1$

Этап 21

Найдем значение $θ$ для $r = 1$ .

$3 θ = 2 π (1)$

Этап 22

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Умножим $2$ на $1$ .

$3 θ = 2 π$

Этап 22.2

Разделим каждый член $3 θ = 2 π$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Разделим каждый член $3 θ = 2 π$ на $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Этап 22.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Этап 22.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 23

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{3} = - i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 24

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Умножим $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ на $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 24.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 24.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 24.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Этап 24.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 24.2.5

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 25

Подставим $x^{3}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 26

Найдем значение $θ$ для $r = 2$ .

$3 θ = 2 π (2)$

Этап 27

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Умножим $2$ на $2$ .

$3 θ = 4 π$

Этап 27.2

Разделим каждый член $3 θ = 4 π$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Разделим каждый член $3 θ = 4 π$ на $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Этап 27.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Этап 27.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Этап 28

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{3} = - i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Этап 29

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Умножим $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ на $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 29.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 29.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 29.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 29.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 29.2.5

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 30

Подставим $x^{3}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 31

Это комплексные решения $u^{3} = - i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$