Алгебра Примеры

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} = \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Вычтем $\frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x) - 4}{x^{2} - 4} = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{x^{2} - 4} = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{x^{2} - 4} = 0$

Этап 2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{x^{2} - 2^{2}} = 0$

Этап 2.1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{3}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $\frac{2}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{3}{x + 2}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) x} + \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{2}{x}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) x} + \frac{2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 2) x$ .

$\frac{3 x}{x (x + 2)} + \frac{2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x + 2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 2 x + 2 \cdot 2}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 x + 2 x + 4}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.6.3

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.7

Чтобы записать $\frac{5 x + 4}{x (x + 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.8

Чтобы записать $- \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Этап 2.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x + 2) (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $\frac{5 x + 4}{x (x + 2)}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Этап 2.9.2

Умножим $\frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1) x}{(x + 2) (x - 2) x} = 0$

Этап 2.9.3

Изменим порядок множителей в $(x + 2) (x - 2) x$ .

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(5 x + 4) (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Развернем $(5 x + 4) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x (x - 2) + 4 (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 4 (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.2.1.2

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.2.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x + 4 x - 8 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.2.2

Добавим $- 10 x$ и $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 + (- 4 x + 4) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 x \cdot x + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 (x \cdot x) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 x^{2} + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.7

Вычтем $4 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.8

Добавим $- 6 x$ и $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 8}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.11.9

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 2.11.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.12

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Этап 2.12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} = 0$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (x - 2) = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = 0, x = 2$

Этап 6