Алгебра Примеры

$\frac{1}{6 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{6 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{6} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} (- {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$- \frac{{(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{6} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Перенесем ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10.3

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 11

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14.2

Умножим $\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 16

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 17

Чтобы записать ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 18

Объединим ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Перенесем ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + (x - 1) \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2

Перенесем $2$ влево от $x - 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + 2 \cdot (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Умножим $\frac{x + 2 (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 23

Умножим $6$ на $2$ .

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Применим правило умножения к $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 24.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{x + 2 x + 2 \cdot - 1}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 24.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{x + 2 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 24.3.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 24.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 24.4.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 24.4.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{1})}$

Этап 24.4.2

Упростим.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x - 1))}$

Этап 24.4.3

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{1}))}$

Этап 24.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1})}$

Этап 24.4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}$

Этап 24.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}})}$

Этап 24.4.7

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$