Алгебра Примеры

$d_{x} (9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}})$

Этап 1

Поскольку $d_{x}$ является константой относительно $x$ , производная $d_{x} (9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}})$ по $x$ равна $d_{x} \frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$d_{x} \frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Этап 2

По правилу суммы производная $9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$d_{x} (\frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$d_{x} (9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 9.2

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$d_{x} (9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 9.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$d_{x} (- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 9.4

Объединим $- 9$ и $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$d_{x} (\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 9.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d_{x} (\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 9.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}])$

Этап 11

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}])$

Этап 11.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2} \cdot - 1}])$

Этап 11.2.2

Умножим $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}])$

Этап 11.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{2}}])$

Этап 11.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}])$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{5}{2}$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1}))$

Этап 13

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 14

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 15

Объединим числители над общим знаменателем.

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}}))$

Этап 16.2

Вычтем $2$ из $- 5$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}}))$

Этап 17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}}))$

Этап 18

Объединим $x^{- \frac{7}{2}}$ и $\frac{5}{2}$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}))$

Этап 19

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} - 2 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

Этап 20

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2})$

Этап 21

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Умножим $5$ на $- 2$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 10 x^{- \frac{7}{2}}}{2})$

Этап 21.2

Перенесем $x^{- \frac{7}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

Этап 22

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

Этап 23

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{7}{2}}$ .

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{7}{2}})})$

Этап 23.2

Сократим общий множитель.

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

Этап 23.3

Перепишем это выражение.

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 5}{x^{\frac{7}{2}}})$

Этап 24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}})$

Этап 25

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Применим свойство дистрибутивности.

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + d_{x} (- \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}})$

Этап 25.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.2.1

Объединим $d_{x}$ и $\frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{d_{x} \cdot 9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + d_{x} (- \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}})$

Этап 25.2.2

Перенесем $9$ влево от $d_{x}$ .

$- \frac{9 \cdot d_{x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} + d_{x} (- \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}})$

Этап 25.2.3

Объединим $d_{x}$ и $\frac{5}{x^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{9 d_{x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{d_{x} \cdot 5}{x^{\frac{7}{2}}}$

Этап 25.2.4

Перенесем $5$ влево от $d_{x}$ .

$- \frac{9 d_{x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{5 d_{x}}{x^{\frac{7}{2}}}$