Алгебра Примеры

$s (t) = 20 e^{\frac{1}{2} t^{3} + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$

Этап 1.2

Поскольку $20$ является константой относительно $t$ , производная $20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ по $t$ равна $20 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$ .

$20 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = \frac{t^{3}}{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t^{3}}{2} + 1$ .

$20 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$20 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t^{3}}{2} + 1$ .

$20 (e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{t^{3}}{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t^{3}}{2}$ по $t$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{1}{2} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3}{2} t^{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 3.4.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $t^{2}$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3 t^{2}}{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3 t^{2}}{2} + 0)$

Этап 3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $\frac{3 t^{2}}{2}$ и $0$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} \frac{3 t^{2}}{2}$

Этап 3.6.2

Объединим $\frac{3 t^{2}}{2}$ и $20$ .

$\frac{3 t^{2} \cdot 20}{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$

Этап 3.6.3

Умножим $20$ на $3$ .

$\frac{60 t^{2}}{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$

Этап 3.6.4

Объединим $\frac{60 t^{2}}{2}$ и $e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ .

$\frac{60 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}}{2}$

Этап 3.6.5

Сократим общий множитель $60$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Вынесем множитель $2$ из $60 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ .

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2}$

Этап 3.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2 (1)}$

Этап 3.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}}{1}$

Этап 3.6.5.2.4

Разделим $30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ на $1$ .

$30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$