Алгебра Примеры

$f (x) = \ln (| \ln (13 x) |)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | \ln (13 x) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $| \ln (13 x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \ln (13 x) |]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \ln (13 x) |]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $| \ln (13 x) |$ .

$\frac{1}{| \ln (13 x) |} \frac{d}{d x} [| \ln (13 x) |]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln (13 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (13 x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\ln (13 x)])$

Этап 2.2

Производная $| u_{2} |$ по $u_{2}$ равна $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \ln (13 x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (13 x)$ .

$\frac{1}{| \ln (13 x) |} (\frac{\ln (13 x)}{| \ln (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)])$

Этап 3

Умножим $\frac{\ln (13 x)}{| \ln (13 x) |}$ на $\frac{1}{| \ln (13 x) |}$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln (13 x) | | \ln (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Этап 4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln (13 x) \ln (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Этап 5

Возведем $\ln (13 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{1} (13 x) \ln (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Этап 6

Возведем $\ln (13 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{1} (13 x) \ln^{1} (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\ln (13 x)}{| {\ln (13 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{2} (13 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (13 x)]$

Этап 9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $13 x$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{2} (13 x) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [13 x])$

Этап 9.2

Производная $\ln (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{2} (13 x) |} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [13 x])$

Этап 9.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $13 x$ .

$\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{2} (13 x) |} (\frac{1}{13 x} \frac{d}{d x} [13 x])$

Этап 10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{13 x}$ на $\frac{\ln (13 x)}{| \ln^{2} (13 x) |}$ .

$\frac{\ln (13 x)}{13 x | \ln^{2} (13 x) |} \frac{d}{d x} [13 x]$

Этап 10.2

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13 x$ по $x$ равна $13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (13 x)}{13 x | \ln^{2} (13 x) |} (13 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $13$ и $\frac{\ln (13 x)}{13 x | \ln^{2} (13 x) |}$ .

$\frac{13 \ln (13 x)}{13 x | \ln^{2} (13 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{13 \ln (13 x)}{13 x | \ln^{2} (13 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (13 x)}{x | \ln^{2} (13 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\ln (13 x)}{x | \ln^{2} (13 x) |} \cdot 1$

Этап 10.5

Умножим $\frac{\ln (13 x)}{x | \ln^{2} (13 x) |}$ на $1$ .

$\frac{\ln (13 x)}{x | \ln^{2} (13 x) |}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{\ln (13 x)}{x \ln^{2} (13 x)}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $\ln (13 x)$ и $\ln^{2} (13 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\ln (13 x) \cdot 1}{x \ln^{2} (13 x)}$

Этап 11.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $\ln (13 x)$ из $x \ln^{2} (13 x)$ .

$\frac{\ln (13 x) \cdot 1}{\ln (13 x) (x \ln (13 x))}$

Этап 11.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (13 x) \cdot 1}{\ln (13 x) (x \ln (13 x))}$

Этап 11.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x \ln (13 x)}$