Алгебра Примеры

$f (x, y) = 3 x + 2 y$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $f (x, y) - 3 x - 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 1.2

Умножим $f$ на каждый элемент матрицы.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$ и $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на каждый элемент матрицы.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $f x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3.2

Умножим $\frac{1}{x} (f y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $f$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3.2.2

Объединим $\frac{f}{x}$ и $y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $f (x, y) - 3 x - 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 4.1.2

Умножим $f$ на каждый элемент матрицы.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$ .

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) - 3 = 0$

Этап 5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \cdot (f x, f y) - 3 = 0$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на каждый элемент матрицы.

$(\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Этап 5.2.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $f x$ .

$(\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$(\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Этап 5.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$(f, \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{1}{x} (f y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Объединим $f$ и $\frac{1}{x}$ .

$(f, \frac{f}{x} y) - 3 = 0$

Этап 5.2.3.2.2

Объединим $\frac{f}{x}$ и $y$ .

$(f, \frac{f y}{x}) - 3 = 0$

Этап 5.3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$(f, \frac{f y}{x}) = 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{d}{d x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$d x = 0$

Этап 6.2

Разделим каждый член $d x = 0$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $d x = 0$ на $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $d$ на $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $0$ на $x$ .

$d = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $d$ на $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Этап 9.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11