Алгебра Примеры

$f (x) = (x + 3) {(x - 1)}^{5}$

Этап 1

Упростим и упорядочим многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$(x + 3) (x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 1 + 10 x^{3} {(- 1)}^{2} + 10 x^{2} {(- 1)}^{3} + 5 x {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5})$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$(x + 3) (x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} {(- 1)}^{2} + 10 x^{2} {(- 1)}^{3} + 5 x {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5})$

Этап 1.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$(x + 3) (x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 1 + 10 x^{2} {(- 1)}^{3} + 5 x {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5})$

Этап 1.2.3

Умножим $10$ на $1$ .

$(x + 3) (x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} {(- 1)}^{3} + 5 x {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5})$

Этап 1.2.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$(x + 3) (x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot - 1 + 5 x {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5})$

Этап 1.2.5

Умножим $- 1$ на $10$ .

$(x + 3) (x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5})$

Этап 1.2.6

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$(x + 3) (x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x \cdot 1 + {(- 1)}^{5})$

Этап 1.2.7

Умножим $5$ на $1$ .

$(x + 3) (x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x + {(- 1)}^{5})$

Этап 1.2.8

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$(x + 3) (x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x - 1)$

Этап 1.3

Развернем $(x + 3) (x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x \cdot x^{5} + x (- 5 x^{4}) + x (10 x^{3}) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{5} + x (- 5 x^{4}) + x (10 x^{3}) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 5} + x (- 5 x^{4}) + x (10 x^{3}) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.1.2

Добавим $1$ и $5$ .

$x^{6} + x (- 5 x^{4}) + x (10 x^{3}) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} - 5 x \cdot x^{4} + x (10 x^{3}) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.3

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.1

Перенесем $x^{4}$ .

$x^{6} - 5 (x^{4} x) + x (10 x^{3}) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.3.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} - 5 (x^{4} x^{1}) + x (10 x^{3}) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} - 5 x^{4 + 1} + x (10 x^{3}) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.3.3

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + x (10 x^{3}) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x \cdot x^{3} + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.5

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Перенесем $x^{3}$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 (x^{3} x) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.5.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 (x^{3} x^{1}) + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{3 + 1} + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} + x (- 10 x^{2}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 (x^{2} x) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 (x^{2} x^{1}) + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{2 + 1} + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + x (5 x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x \cdot x + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.9.1

Перенесем $x$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2} + x \cdot - 1 + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.10

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2} - 1 \cdot x + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.11

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2} - x + 3 x^{5} + 3 (- 5 x^{4}) + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.12

Умножим $- 5$ на $3$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2} - x + 3 x^{5} - 15 x^{4} + 3 (10 x^{3}) + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.13

Умножим $10$ на $3$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2} - x + 3 x^{5} - 15 x^{4} + 30 x^{3} + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.14

Умножим $- 10$ на $3$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2} - x + 3 x^{5} - 15 x^{4} + 30 x^{3} - 30 x^{2} + 3 (5 x) + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.15

Умножим $5$ на $3$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2} - x + 3 x^{5} - 15 x^{4} + 30 x^{3} - 30 x^{2} + 15 x + 3 \cdot - 1$

Этап 1.4.1.16

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{6} - 5 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2} - x + 3 x^{5} - 15 x^{4} + 30 x^{3} - 30 x^{2} + 15 x - 3$

Этап 1.4.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Добавим $- 5 x^{5}$ и $3 x^{5}$ .

$x^{6} - 2 x^{5} + 10 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2} - x - 15 x^{4} + 30 x^{3} - 30 x^{2} + 15 x - 3$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $15 x^{4}$ из $10 x^{4}$ .

$x^{6} - 2 x^{5} - 5 x^{4} - 10 x^{3} + 5 x^{2} - x + 30 x^{3} - 30 x^{2} + 15 x - 3$

Этап 1.4.2.3

Добавим $- 10 x^{3}$ и $30 x^{3}$ .

$x^{6} - 2 x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 x^{2} - x - 30 x^{2} + 15 x - 3$

Этап 1.4.2.4

Вычтем $30 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$x^{6} - 2 x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3} - 25 x^{2} - x + 15 x - 3$

Этап 1.4.2.5

Добавим $- x$ и $15 x$ .

$x^{6} - 2 x^{5} - 5 x^{4} + 20 x^{3} - 25 x^{2} + 14 x - 3$

Этап 2

Наибольший показатель степени называется степенью многочлена.

$6$