Алгебра Примеры

$x^{2} - 9 y^{3} = \ln (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 9 y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 9 y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 y^{3}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x - 9 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x - 9 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} y')$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $- 9$ .

$2 x - 27 y^{2} y'$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$- 27 y^{2} y' + 2 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 27 y^{2} y' + 2 x = \frac{y'}{y}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части на $y$ .

$(- 27 y^{2} y' + 2 x) y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $(- 27 y^{2} y' + 2 x) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 27 y^{2} y' y + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Перенесем $y$ .

$- 27 (y \cdot y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.2.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 27 (y^{1} y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 27 y^{1 + 2} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 27 y^{3} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.1.1.3

Перенесем $y^{3}$ .

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = y'$

Этап 5.3

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y - y' = 0$

Этап 5.3.2

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$- 27 y' y^{3} - y' = - 2 x y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 27 y' y^{3} - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- 27 y' y^{3}$ .

$y' (- 27 y^{3}) - y' = - 2 x y$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 27 y^{3} - 1) = - 2 x y$

Этап 5.3.4

Перепишем $- 27 y^{3}$ в виде ${(- 3 y)}^{3}$ .

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1) = - 2 x y$

Этап 5.3.5

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1^{3}) = - 2 x y$

Этап 5.3.6

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = - 3 y$ и $b = 1$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3 y)}^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Этап 5.3.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1.1

Применим правило умножения к $- 3 y$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3)}^{2} y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Этап 5.3.7.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Этап 5.3.7.1.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1^{2})) = - 2 x y$

Этап 5.3.7.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)) = - 2 x y$

Этап 5.3.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$

Этап 5.3.8

Разделим каждый член $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ на $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Разделим каждый член $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ на $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.2.1

Сократим общий множитель $- 3 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.2.2

Сократим общий множитель $9 y^{2} - 3 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.3.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1 (1)) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{- (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.3.5.1

Перепишем $- (3 y + 1)$ в виде $- 1 (3 y + 1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{- 1 (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - - \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 5.3.8.3.5.4

Умножим $\frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$