Алгебра Примеры

$x^{4} - 145 x^{2} + 144 \geq 0$

Этап 1

Решим $x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 145 u + 144 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} - 145 u + 144$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $144$ , а сумма — $- 145$ .

$- 144, - 1$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 144) (u - 1) = 0$

Этап 1.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 144 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 1.4

Приравняем $u - 144$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Приравняем $u - 144$ к $0$ .

$u - 144 = 0$

Этап 1.4.2

Добавим $144$ к обеим частям уравнения.

$u = 144$

Этап 1.5

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 1.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 144) (u - 1) = 0$ верно.

$u = 144, 1$

Этап 1.7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 144$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 1.8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 144$

Этап 1.9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{144}$

Этап 1.9.2

Упростим $\pm \sqrt{144}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

Этап 1.9.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 12$

Этап 1.9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 12$

Этап 1.9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 12$

Этап 1.9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 12, - 12$

Этап 1.10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 1.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 1$

Этап 1.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.11.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.11.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.12

Решением $x^{4} - 145 x^{2} + 144 = 0$ является $x = 12, - 12, 1, - 1$ .

$x = 12, - 12, 1, - 1$

Этап 1.13

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 12$

$- 12 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 12$

$x > 12$

Этап 1.14

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Проверим значение на интервале $x < - 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 14$

Этап 1.14.1.2

Заменим $x$ на $- 14$ в исходном неравенстве.

${(- 14)}^{4} - 145 {(- 14)}^{2} + 144 \geq 0$

Этап 1.14.1.3

Левая часть $10140$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.14.2

Проверим значение на интервале $- 12 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1

Выберем значение на интервале $- 12 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 1.14.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{4} - 145 {(- 4)}^{2} + 144 \geq 0$

Этап 1.14.2.3

Левая часть $- 1920$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.14.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.14.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{4} - 145 {(0)}^{2} + 144 \geq 0$

Этап 1.14.3.3

Левая часть $144$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.14.4

Проверим значение на интервале $1 < x < 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.4.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.14.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{4} - 145 {(4)}^{2} + 144 \geq 0$

Этап 1.14.4.3

Левая часть $- 1920$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.14.5

Проверим значение на интервале $x > 12$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.5.1

Выберем значение на интервале $x > 12$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 14$

Этап 1.14.5.2

Заменим $x$ на $14$ в исходном неравенстве.

${(14)}^{4} - 145 {(14)}^{2} + 144 \geq 0$

Этап 1.14.5.3

Левая часть $10140$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.14.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 12$ Истина

$- 12 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < 12$ Ложь

$x > 12$ Истина

$x < - 12$ Истина

$- 12 < x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < 12$ Ложь

$x > 12$ Истина

Этап 1.15

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 12$ или $- 1 \leq x \leq 1$ или $x \geq 12$

Этап 2

Используем неравенство $x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12$ для построения формы записи множества.

${x | x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12}$

Этап 3