Алгебра Примеры

$z = (u^{3} - v^{3}) e^{(u^{3} + v^{3})}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d u} (z) = \frac{d}{d u} ((u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}})$

Этап 2

Производная $z$ по $u$ равна $z'$ .

$z'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ имеет вид $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ , где $f (u) = u^{3} - {z'}^{3}$ и $g (u) = e^{u^{3} + {z'}^{3}}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) \frac{d}{d u} [e^{u^{3} + {z'}^{3}}] + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ имеет вид $f' (g (u)) g' (u)$ , где $f (u) = e^{u}$ и $g (u) = u^{3} + {z'}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $u^{3} + {z'}^{3}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $u^{3} + {z'}^{3}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $u^{3} + {z'}^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Этап 3.3.3

Поскольку ${z'}^{3}$ является константой относительно $u$ , производная ${z'}^{3}$ относительно $u$ равна $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + 0) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Этап 3.3.4

Добавим $3 u^{2}$ и $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Этап 3.3.5

По правилу суммы производная $u^{3} - {z'}^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}]$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}])$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}])$

Этап 3.3.7

Поскольку $- {z'}^{3}$ является константой относительно $u$ , производная $- {z'}^{3}$ относительно $u$ равна $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + 0)$

Этап 3.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Добавим $3 u^{2}$ и $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2})$

Этап 3.3.8.2

Изменим порядок членов.

$3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (u^{3} - {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (u^{3} - {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} u^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Этап 5.1.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем $u^{3}$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} (u^{3} u^{2}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Этап 5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{3 + 2} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Этап 5.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Этап 5.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} - 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} {z'}^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} - 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} {z'}^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$ .

$z' = 3 u^{5} e^{u^{3} + {z'}^{3}} - 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}} {z'}^{3} + 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}}$

Этап 6

Заменим $z'$ на $\frac{d z}{d u}$ .

$\frac{d z}{d u} = 3 u^{5} e^{u^{3} + {z'}^{3}} - 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}} {z'}^{3} + 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}}$