Алгебра Примеры

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.5

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $\sqrt{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Перенесем $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.5.2

Умножим $\sqrt{2}$ на ${\sqrt{2}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.8

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.10

Умножим $2$ на $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.11

Применим правило умножения к $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.12

Умножим $\sqrt{2}$ на ${\sqrt{2}}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Перенесем ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.12.2

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.2.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.12.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.13

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.14

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.15

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.15.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.17

Умножим $2$ на $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.18

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.19

Умножим $- 1$ на $6$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Этап 2.1.20

Применим правило умножения к $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

Этап 2.1.21

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Этап 2.1.22

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Этап 2.1.23

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

Этап 2.1.24

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

Этап 2.1.25

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

Этап 2.1.26

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.26.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

Этап 2.1.26.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.27

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

Этап 2.1.28

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $6 \sqrt{2}$ из $2 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Этап 2.2.2

Изменим порядок множителей в $6 \sqrt{2} i$ .

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Этап 2.2.3

Вычтем $2 i \sqrt{2}$ из $6 i \sqrt{2}$ .

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Этап 2.2.4

Изменим порядок $4 i \sqrt{2}$ и $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 4 \sqrt{2}$ и $b = 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 6.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 6.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 6.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $16$ на $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 6.3.2

Применим правило умножения к $- 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.3.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.4.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Этап 6.4.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Этап 6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $16$ на $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

Этап 6.5.2

Добавим $32$ и $32$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Этап 6.5.3

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Этап 6.5.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 8$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 9

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{4}$ и $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$