Алгебра Примеры

$- 2 \ln (x + 1)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = - 2 \ln (y + 1)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 \ln (y + 1) = x$ .

$- 2 \ln (y + 1) = x$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 2 \ln (y + 1) = x$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \ln (y + 1) = x$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (y + 1)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \ln (y + 1)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\ln (y + 1)$ на $1$ .

$\ln (y + 1) = \frac{x}{- 2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (y + 1) = - \frac{x}{2}$

Этап 2.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y + 1)} = e^{- \frac{x}{2}}$

Этап 2.4

Перепишем $\ln (y + 1) = - \frac{x}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = y + 1$

Этап 2.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $y + 1 = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$y + 1 = e^{- \frac{x}{2}}$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = e^{- \frac{x}{2}} - 1$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$ обратной к $f (x) = - 2 \ln (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{- 2 \ln (x + 1)}{2}} - 1$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \ln (x + 1)$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2}} - 1$

Этап 4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2 (1)}} - 1$

Этап 4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2 \cdot 1}} - 1$

Этап 4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{- \ln (x + 1)}{1}} - 1$

Этап 4.2.3.1.2.4

Разделим $- \ln (x + 1)$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Этап 4.2.3.2

Умножим $- - \ln (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{1 \ln (x + 1)} - 1$

Этап 4.2.3.2.2

Умножим $\ln (x + 1)$ на $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Этап 4.2.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x + 1 - 1$

Этап 4.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 1 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x + 0$

Этап 4.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (e^{- \frac{x}{2}} - 1)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln ((e^{- \frac{x}{2}} - 1) + 1)$

Этап 4.3.3

Объединим противоположные члены в $(e^{- \frac{x}{2}} - 1) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln (e^{- \frac{x}{2}} + 0)$

Этап 4.3.3.2

Добавим $e^{- \frac{x}{2}}$ и $0$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln (e^{- \frac{x}{2}})$

Этап 4.3.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- \frac{x}{2}$ из степени.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Этап 4.3.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2} \cdot 1)$

Этап 4.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{2}$ в числитель.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \frac{- x}{2}$

Этап 4.3.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Этап 4.3.7.3

Сократим общий множитель.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Этап 4.3.7.4

Перепишем это выражение.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 1 (- x)$

Этап 4.3.8

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 1 x$

Этап 4.3.8.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$ — обратная к $f (x) = - 2 \ln (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$