Алгебра Примеры

$f (x) = 6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{6}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{6}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$6 {(\frac{7}{2})}^{4} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = \frac{7}{2}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{7}{2}$ .

$6 \frac{7^{4}}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.2

Возведем $7$ в степень $4$ .

$6 \frac{2401}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$6 (\frac{2401}{16}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{2401}{16} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.4.4

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{2401}{8}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.5

Объединим $3$ и $\frac{2401}{8}$ .

$\frac{3 \cdot 2401}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.6

Умножим $3$ на $2401$ .

$\frac{7203}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.7

Применим правило умножения к $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{7^{3}}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.8

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{343}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.9

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 (\frac{343}{8}) - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.10

Умножим $- 21 (\frac{343}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.1

Объединим $- 21$ и $\frac{343}{8}$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 21 \cdot 343}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.10.2

Умножим $- 21$ на $343$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.12

Применим правило умножения к $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.13

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{49}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.14

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 (\frac{49}{4}) + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.15

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 (- 1) \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.15.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.15.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 1 \cdot 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.16

Умножим $- 1$ на $49$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Этап 4.1.17

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 (12) \frac{7}{2} - 35$

Этап 4.1.17.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 \cdot 12 \frac{7}{2} - 35$

Этап 4.1.17.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 12 \cdot 7 - 35$

Этап 4.1.18

Умножим $12$ на $7$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 84 - 35$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 49 + 84 - 35 + \frac{7203 - 7203}{8}$

Этап 4.2.2

Вычтем $7203$ из $7203$ .

$- 49 + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $- 49$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 49}{1} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{- 49}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49}{1} \cdot \frac{8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{- 49}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Этап 4.3.4

Запишем $84$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} - 35 + \frac{0}{8}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{84}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} \cdot \frac{8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Этап 4.3.6

Умножим $\frac{84}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Этап 4.3.7

Запишем $- 35$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} + \frac{0}{8}$

Этап 4.3.8

Умножим $\frac{- 35}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{0}{8}$

Этап 4.3.9

Умножим $\frac{- 35}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35 \cdot 8}{8} + \frac{0}{8}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 49 \cdot 8 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 49$ на $8$ .

$\frac{- 392 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Этап 4.5.2

Умножим $84$ на $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 35 \cdot 8}{8}$

Этап 4.5.3

Умножим $- 35$ на $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 280}{8}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $- 392$ и $672$ .

$\frac{280 - 280}{8}$

Этап 4.6.2

Вычтем $280$ из $280$ .

$\frac{0}{8}$

Этап 4.6.3

Разделим $0$ на $8$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $\frac{7}{2}$ — известный корень, разделим многочлен на $x - \frac{7}{2}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35}{x - \frac{7}{2}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(6)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

	$6$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(6)$ на делитель $(\frac{7}{2})$ и запишем их произведение $(21)$ под следующим членом делимого $(- 21)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$	$0$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(0)$ на делитель $(\frac{7}{2})$ и запишем их произведение $(0)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$	$- 4$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(\frac{7}{2})$ и запишем их произведение $(- 14)$ под следующим членом делимого $(24)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(10)$ на делитель $(\frac{7}{2})$ и запишем их произведение $(35)$ под следующим членом делимого $(- 35)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$	$0$

Этап 6.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$6 x^{3} + 0 x^{2} + (- 4) x + 10$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$6 x^{3} - 4 x + 10$

Этап 7

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{3} - 4 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{3}$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) - 4 x + 10)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 10)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (5))$

Этап 7.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5))$

Этап 7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x + 5))$

Этап 8

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 1.37173942, \frac{7}{2}$

Этап 9