Алгебра Примеры

$f (x) = {(x - 3)}^{4} {(x + 6)}^{2}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$(x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Этап 2.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Этап 2.1.3

Умножим $9$ на $6$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Этап 2.1.4

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Этап 2.1.5

Умножим $- 27$ на $4$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Этап 2.1.6

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) {(x + 6)}^{2}$

Этап 2.2

Перепишем ${(x + 6)}^{2}$ в виде $(x + 6) (x + 6)$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) ((x + 6) (x + 6))$

Этап 3

Развернем $(x + 6) (x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x (x + 6) + 6 (x + 6))$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6))$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)$

Этап 4.1.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6)$

Этап 4.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 6 x + 6 x + 36)$

Этап 4.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 12 x + 36)$

Этап 5

Развернем $(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 12 x + 36)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{4} x^{2} + x^{4} (12 x) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4 + 2} + x^{4} (12 x) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.1.2

Добавим $4$ и $2$ .

$x^{6} + x^{4} (12 x) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} + 12 x^{4} x + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.3

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перенесем $x$ .

$x^{6} + 12 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + 12 (x^{1} x^{4}) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + 12 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.3.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.4

Перенесем $36$ влево от $x^{4}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 \cdot x^{4} - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.5

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 (x^{2} x^{3}) - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{2 + 3} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.5.3

Добавим $2$ и $3$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 x^{3} x - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.7

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Перенесем $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 (x \cdot x^{3}) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.7.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 (x^{1} x^{3}) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 x^{1 + 3} - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.7.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 x^{4} - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.8

Умножим $- 12$ на $12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.9

Умножим $36$ на $- 12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.10.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 (x^{2} x^{2}) + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.10.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{2 + 2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.10.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 x^{2} x + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.12

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.12.1

Перенесем $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 (x \cdot x^{2}) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.12.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.12.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 (x^{1} x^{2}) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 x^{1 + 2} + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.12.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.13

Умножим $54$ на $12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.14

Умножим $36$ на $54$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.15

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.15.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 (x^{2} x) - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.15.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.15.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 (x^{2} x^{1}) - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.15.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{2 + 1} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.15.3

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 \cdot 12 x \cdot x - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.17

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.17.1

Перенесем $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 \cdot 12 (x \cdot x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.17.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 \cdot 12 x^{2} - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.18

Умножим $- 108$ на $12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.19

Умножим $36$ на $- 108$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.20

Умножим $12$ на $81$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 81 \cdot 36$

Этап 6.1.21

Умножим $81$ на $36$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Этап 6.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вычтем $12 x^{5}$ из $12 x^{5}$ .

$x^{6} + 36 x^{4} + 0 - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Этап 6.2.1.2

Добавим $x^{6} + 36 x^{4}$ и $0$ .

$x^{6} + 36 x^{4} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Этап 6.2.2

Вычтем $144 x^{4}$ из $36 x^{4}$ .

$x^{6} - 108 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Этап 6.2.3

Добавим $- 108 x^{4}$ и $54 x^{4}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} - 432 x^{3} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Этап 6.2.4

Добавим $- 432 x^{3}$ и $648 x^{3}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 216 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Этап 6.2.5

Вычтем $108 x^{3}$ из $216 x^{3}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 1944 x^{2} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Этап 6.2.6

Вычтем $1296 x^{2}$ из $1944 x^{2}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 648 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Этап 6.2.7

Добавим $648 x^{2}$ и $81 x^{2}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 3888 x + 972 x + 2916$

Этап 6.2.8

Добавим $- 3888 x$ и $972 x$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 2916 x + 2916$

Этап 7

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 81, \pm 108, \pm 162, \pm 243, \pm 324, \pm 486, \pm 729, \pm 972, \pm 1458, \pm 2916$

$q = \pm 1$

Этап 8

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 81, \pm 108, \pm 162, \pm 243, \pm 324, \pm 486, \pm 729, \pm 972, \pm 1458, \pm 2916$

Этап 9

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(3)}^{6} - 54 {(3)}^{4} + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Этап 10

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $3$ в степень $6$ .

$729 - 54 {(3)}^{4} + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Этап 10.1.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$729 - 54 \cdot 81 + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Этап 10.1.3

Умножим $- 54$ на $81$ .

$729 - 4374 + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Этап 10.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$729 - 4374 + 108 \cdot 27 + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Этап 10.1.5

Умножим $108$ на $27$ .

$729 - 4374 + 2916 + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Этап 10.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$729 - 4374 + 2916 + 729 \cdot 9 - 2916 \cdot 3 + 2916$

Этап 10.1.7

Умножим $729$ на $9$ .

$729 - 4374 + 2916 + 6561 - 2916 \cdot 3 + 2916$

Этап 10.1.8

Умножим $- 2916$ на $3$ .

$729 - 4374 + 2916 + 6561 - 8748 + 2916$

Этап 10.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $4374$ из $729$ .

$- 3645 + 2916 + 6561 - 8748 + 2916$

Этап 10.2.2

Добавим $- 3645$ и $2916$ .

$- 729 + 6561 - 8748 + 2916$

Этап 10.2.3

Добавим $- 729$ и $6561$ .

$5832 - 8748 + 2916$

Этап 10.2.4

Вычтем $8748$ из $5832$ .

$- 2916 + 2916$

Этап 10.2.5

Добавим $- 2916$ и $2916$ .

$0$

Этап 11

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 2916 x + 2916}{x - 3}$

Этап 12

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$

Этап 12.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$

	$1$

Этап 12.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$
	$1$

Этап 12.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$
	$1$	$3$

Этап 12.5

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(9)$ под следующим членом делимого $(- 54)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Этап 12.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$- 45$

Этап 12.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 45)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(- 135)$ под следующим членом делимого $(108)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$
	$1$	$3$	$- 45$

Этап 12.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$

Этап 12.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 27)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(- 81)$ под следующим членом делимого $(729)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$

Этап 12.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$

Этап 12.11

Умножим последний элемент в области результата $(648)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(1944)$ под следующим членом делимого $(- 2916)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$

Этап 12.12

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$	$- 972$

Этап 12.13

Умножим последний элемент в области результата $(- 972)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(- 2916)$ под следующим членом делимого $(2916)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$	$- 2916$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$	$- 972$

Этап 12.14

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$	$- 2916$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$	$- 972$	$0$

Этап 12.15

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{5} + 3 x^{4} - 45 x^{3} + - 27 x^{2} + (648) x - 972$

Этап 12.16

Упростим частное многочленов.

$x^{5} + 3 x^{4} - 45 x^{3} - 27 x^{2} + 648 x - 972$

Этап 13

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} - 27 x^{2} + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5} - 27 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - 27 x^{2} + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 27 x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 27 + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 27$ .

$x^{2} (x^{3} - 27) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.3

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$x^{2} (x^{3} - 3^{3}) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.5.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.6

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4}$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4}) - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.6.2

Вынесем множитель $3$ из $- 45 x^{3}$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4}) + 3 (- 15 x^{3}) + 648 x - 972 = 0$

Этап 13.1.6.3

Вынесем множитель $3$ из $648 x$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4}) + 3 (- 15 x^{3}) + 3 (216 x) - 972 = 0$

Этап 13.1.6.4

Вынесем множитель $3$ из $- 972$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 x^{4} + 3 (- 15 x^{3}) + 3 (216 x) + 3 \cdot - 324 = 0$

Этап 13.1.6.5

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4} + 3 (- 15 x^{3})$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4} - 15 x^{3}) + 3 (216 x) + 3 \cdot - 324 = 0$

Этап 13.1.6.6

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{4} - 15 x^{3}) + 3 (216 x)$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4} - 15 x^{3} + 216 x) + 3 \cdot - 324 = 0$

Этап 13.1.6.7

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{4} - 15 x^{3} + 216 x) + 3 \cdot - 324$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324) = 0$

Этап 13.1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Разложим $x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1.1

$p = \pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

$q = \pm 1$

Этап 13.1.7.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

Этап 13.1.7.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{4} - 15 \cdot 3^{3} + 216 \cdot 3 - 324$

Этап 13.1.7.1.3.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 - 15 \cdot 3^{3} + 216 \cdot 3 - 324$

Этап 13.1.7.1.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$81 - 15 \cdot 27 + 216 \cdot 3 - 324$

Этап 13.1.7.1.3.4

Умножим $- 15$ на $27$ .

$81 - 405 + 216 \cdot 3 - 324$

Этап 13.1.7.1.3.5

Вычтем $405$ из $81$ .

$- 324 + 216 \cdot 3 - 324$

Этап 13.1.7.1.3.6

Умножим $216$ на $3$ .

$- 324 + 648 - 324$

Этап 13.1.7.1.3.7

Добавим $- 324$ и $648$ .

$324 - 324$

Этап 13.1.7.1.3.8

Вычтем $324$ из $324$ .

$0$

Этап 13.1.7.1.4

$\frac{x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324}{x - 3}$

Этап 13.1.7.1.5

Разделим $x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

Этап 13.1.7.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

Этап 13.1.7.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 13.1.7.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} - 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Этап 13.1.7.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

Этап 13.1.7.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 13.1.7.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 13.1.7.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Этап 13.1.7.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x^{3} + 36 x^{2}$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Этап 13.1.7.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Этап 13.1.7.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

Этап 13.1.7.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 36 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

Этап 13.1.7.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

Этап 13.1.7.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 36 x^{2} + 108 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

Этап 13.1.7.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

Этап 13.1.7.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

Этап 13.1.7.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $108 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

Этап 13.1.7.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

$108 x$

$324$

Этап 13.1.7.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $108 x - 324$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

$108 x$

$324$

Этап 13.1.7.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

$108 x$

$324$

$0$

Этап 13.1.7.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108$

Этап 13.1.7.1.6

Запишем $x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324$ в виде набора множителей.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 ((x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108) = 0$

Этап 13.1.8

Вынесем множитель $x - 3$ из $x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108) = 0$

Этап 13.1.8.2

Вынесем множитель $x - 3$ из $3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.8.3

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108))$ .

$(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 3) (x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.10.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 3) (x^{2 + 2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.10.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$(x - 3) (x^{4} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.10.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{2} x + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.10.3

Перенесем $9$ влево от $x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{2} x + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.11.1

Перенесем $x$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.11.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{1 + 2} + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Этап 13.1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 (- 12 x^{2}) + 3 (- 36 x) + 3 \cdot 108) = 0$

Этап 13.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.1

Умножим $- 12$ на $3$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} - 36 x^{2} + 3 (- 36 x) + 3 \cdot 108) = 0$

Этап 13.1.13.2

Умножим $- 36$ на $3$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} - 36 x^{2} - 108 x + 3 \cdot 108) = 0$

Этап 13.1.13.3

Умножим $3$ на $108$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} - 36 x^{2} - 108 x + 324) = 0$

Этап 13.1.14

Добавим $3 x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$(x - 3) (x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} - 36 x^{2} - 108 x + 324) = 0$

Этап 13.1.15

Вычтем $36 x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324) = 0$

Этап 13.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Этап 13.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 13.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 13.4

Приравняем $x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Приравняем $x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324$ к $0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Этап 13.4.2

Решим $x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Этап 13.4.2.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} + 6 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$x^{3} x + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Этап 13.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $6 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot 6 - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Этап 13.4.2.1.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x + x^{3} \cdot 6$ .

$x^{3} (x + 6) - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Этап 13.4.2.1.3

Вынесем множитель $27$ из $- 27 x^{2} - 108 x + 324$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $27$ из $- 27 x^{2}$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2}) - 108 x + 324 = 0$

Этап 13.4.2.1.3.2

Вынесем множитель $27$ из $- 108 x$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2}) + 27 (- 4 x) + 324 = 0$

Этап 13.4.2.1.3.3

Вынесем множитель $27$ из $324$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2}) + 27 (- 4 x) + 27 (12) = 0$

Этап 13.4.2.1.3.4

Вынесем множитель $27$ из $27 (- x^{2}) + 27 (- 4 x)$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} - 4 x) + 27 (12) = 0$

Этап 13.4.2.1.3.5

Вынесем множитель $27$ из $27 (- x^{2} - 4 x) + 27 (12)$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Этап 13.4.2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Этап 13.4.2.1.4.1.1.2

Запишем $- 4$ как $2$ плюс $- 6$

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12) = 0$

Этап 13.4.2.1.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12) = 0$

Этап 13.4.2.1.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x^{3} (x + 6) + 27 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12) = 0$

Этап 13.4.2.1.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{3} (x + 6) + 27 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2)) = 0$

Этап 13.4.2.1.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 2$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 ((- x + 2) (x + 6)) = 0$

Этап 13.4.2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x + 2) (x + 6) = 0$

Этап 13.4.2.1.5

Вынесем множитель $x + 6$ из $x^{3} (x + 6) + 27 (- x + 2) (x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.5.1

Вынесем множитель $x + 6$ из $x^{3} (x + 6)$ .

$(x + 6) x^{3} + 27 (- x + 2) (x + 6) = 0$

Этап 13.4.2.1.5.2

Вынесем множитель $x + 6$ из $27 (- x + 2) (x + 6)$ .

$(x + 6) x^{3} + (x + 6) (27 (- x + 2)) = 0$

Этап 13.4.2.1.5.3

Вынесем множитель $x + 6$ из $(x + 6) x^{3} + (x + 6) (27 (- x + 2))$ .

$(x + 6) (x^{3} + 27 (- x + 2)) = 0$

Этап 13.4.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 6) (x^{3} + 27 (- x) + 27 \cdot 2) = 0$

Этап 13.4.2.1.7

Умножим $- 1$ на $27$ .

$(x + 6) (x^{3} - 27 x + 27 \cdot 2) = 0$

Этап 13.4.2.1.8

Умножим $27$ на $2$ .

$(x + 6) (x^{3} - 27 x + 54) = 0$

Этап 13.4.2.1.9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.9.1

Перепишем $x^{3} - 27 x + 54$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.9.1.1

Разложим $x^{3} - 27 x + 54$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.9.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.9.1.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 27 \cdot 3 + 54$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 27 \cdot 3 + 54$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.3.3

Умножим $- 27$ на $3$ .

$27 - 81 + 54$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.3.4

Вычтем $81$ из $27$ .

$- 54 + 54$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.3.5

Добавим $- 54$ и $54$ .

$0$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.4

$\frac{x^{3} - 27 x + 54}{x - 3}$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5

Разделим $x^{3} - 27 x + 54$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.1

$x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$27 x$

$54$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} - 9 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 18 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	+	$54$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 18 x + 54$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	-	$54$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	-	$54$
										$0$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 3 x - 18$

Этап 13.4.2.1.9.1.1.6

Запишем $x^{3} - 27 x + 54$ в виде набора множителей.

$(x + 6) ((x - 3) (x^{2} + 3 x - 18)) = 0$

Этап 13.4.2.1.9.1.2

Разложим $x^{2} + 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.9.1.2.1

Разложим $x^{2} + 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.9.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $3$ .

$- 3, 6$

Этап 13.4.2.1.9.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 6) ((x - 3) ((x - 3) (x + 6))) = 0$

Этап 13.4.2.1.9.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 6) ((x - 3) (x - 3) (x + 6)) = 0$

Этап 13.4.2.1.9.1.3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.9.1.3.1

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x + 6) ((x - 3) (x - 3) (x + 6)) = 0$

Этап 13.4.2.1.9.1.3.2

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$(x + 6) ((x - 3) (x - 3) (x + 6)) = 0$

Этап 13.4.2.1.9.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 6) ({(x - 3)}^{1 + 1} (x + 6)) = 0$

Этап 13.4.2.1.9.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(x + 6) ({(x - 3)}^{2} (x + 6)) = 0$

Этап 13.4.2.1.9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 6) {(x - 3)}^{2} (x + 6) = 0$

Этап 13.4.2.1.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1.10.1

Возведем $x + 6$ в степень $1$ .

$(x + 6) (x + 6) {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 13.4.2.1.10.2

Возведем $x + 6$ в степень $1$ .

$(x + 6) (x + 6) {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 13.4.2.1.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x + 6)}^{1 + 1} {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 13.4.2.1.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 13.4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 13.4.2.3

Приравняем ${(x + 6)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.3.1

Приравняем ${(x + 6)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Этап 13.4.2.3.2

Решим ${(x + 6)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.3.2.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 13.4.2.3.2.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 13.4.2.4

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.4.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 13.4.2.4.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.4.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 13.4.2.4.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 13.4.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 6)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 6, 3$

Этап 13.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324) = 0$ верно.

$x = 3, - 6$

Этап 14

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 3) (x + 6)$

Этап 15

Это корни (нули) многочлена $x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 2916 x + 2916$ .

$x = 3, - 6$

Этап 16