Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{(x^{2} - 4) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $5$ .

$1, 4$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x^{2} - 4) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x^{2} - 2^{2}) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2} - 27 x - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2}) - 27 x - 36}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 27 x$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2}) + 9 (- 3 x) - 36}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 36$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} + 9 (- 3 x) + 9 \cdot - 4}$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2} + 9 (- 3 x)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2} - 3 x) + 9 \cdot - 4}$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (x^{2} - 3 x) + 9 \cdot - 4$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2} - 3 x - 4)}$

Этап 3.2

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 ((x - 4) (x + 1))}$

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x - 4) (x + 1)}$

Этап 4

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1), 9 (x - 4) (x + 1)$

Этап 5

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 7

У $9$ есть множители: $3$ и $3$ .

$3 \cdot 3$

Этап 8

Умножим $3$ на $3$ .

$9$

Этап 9

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 10

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 11

Множителем $3 x + 1$ является само значение $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) = 3 x + 1$

$(3 x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 12

Множителем $x - 4$ является само значение $x - 4$ .

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 13

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 14

НОК $x + 2, x - 2, 3 x + 1, x - 4, x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x - 4) (x + 1)$

Этап 15

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$9 (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x - 4) (x + 1)$