Алгебра Примеры

${(m + \frac{1}{m})}^{6}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(m + \frac{1}{m})}^{6}$ $n = 6$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $7$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $m$ и $b$ $\frac{1}{m}$ в выражение.

$1 {(m)}^{6} {(\frac{1}{m})}^{0} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(m)}^{6}$ на $1$ .

${(m)}^{6} {(\frac{1}{m})}^{0} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} \frac{1^{0}}{m^{0}} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$m^{6} \frac{1}{m^{0}} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$m^{6} \frac{1}{1} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.5

Разделим $1$ на $1$ .

$m^{6} \cdot 1 + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.6

Умножим $m^{6}$ на $1$ .

$m^{6} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.7

Упростим.

$m^{6} + 6 m^{5} \frac{1}{m} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.8

Сократим общий множитель $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $m$ из $6 m^{5}$ .

$m^{6} + m (6 m^{4}) \frac{1}{m} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.8.2

Сократим общий множитель.

Этап 4.8.3

Перепишем это выражение.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.9

Применим правило умножения к $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{4} \frac{1^{2}}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.10

Единица в любой степени равна единице.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{4} \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.11

Сократим общий множитель $m^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Вынесем множитель $m^{2}$ из $15 m^{4}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + m^{2} (15 m^{2}) \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.11.2

Сократим общий множитель.

$m^{6} + 6 m^{4} + m^{2} (15 m^{2}) \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.11.3

Перепишем это выражение.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.12

Применим правило умножения к $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 m^{3} \frac{1^{3}}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.13

Единица в любой степени равна единице.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 m^{3} \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.14

Сократим общий множитель $m^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Вынесем множитель $m^{3}$ из $20 m^{3}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + m^{3} \cdot 20 \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.14.2

Сократим общий множитель.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + m^{3} \cdot 20 \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.14.3

Перепишем это выражение.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.15

Применим правило умножения к $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 m^{2} \frac{1^{4}}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.16

Единица в любой степени равна единице.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 m^{2} \frac{1}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.17

Сократим общий множитель $m^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Вынесем множитель $m^{2}$ из $15 m^{2}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.17.2

Вынесем множитель $m^{2}$ из $m^{4}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{2} m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.17.3

Сократим общий множитель.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{2} m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.17.4

Перепишем это выражение.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 \frac{1}{m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.18

Объединим $15$ и $\frac{1}{m^{2}}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.19

Упростим.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.20

Применим правило умножения к $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m \frac{1^{5}}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.21

Единица в любой степени равна единице.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m \frac{1}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.22

Сократим общий множитель $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.22.1

Вынесем множитель $m$ из $6 m$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.22.2

Вынесем множитель $m$ из $m^{5}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m \cdot m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.22.3

Сократим общий множитель.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m \cdot m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.22.4

Перепишем это выражение.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 \frac{1}{m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.23

Объединим $6$ и $\frac{1}{m^{4}}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.24

Умножим ${(m)}^{0}$ на $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.25

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + 1 {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.26

Умножим ${(\frac{1}{m})}^{6}$ на $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + {(\frac{1}{m})}^{6}$

Этап 4.27

Применим правило умножения к $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + \frac{1^{6}}{m^{6}}$

Этап 4.28

Единица в любой степени равна единице.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + \frac{1}{m^{6}}$