Алгебра Примеры

$3 x^{4} - x^{2} + 1$

Этап 1

Приравняем $3 x^{4} - x^{2} + 1$ к $0$ .

$3 x^{4} - x^{2} + 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$3 u^{2} - u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.3

Вычтем $12$ из $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.4

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (11)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Этап 2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.3

Вычтем $12$ из $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (11)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Этап 2.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $12$ из $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (11)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Этап 2.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Этап 2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$ (кратно $1$ )

$u = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$ (кратно $1$ )

Этап 2.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Этап 2.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Этап 2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{11}}{6}}$

Этап 2.10.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{11}}{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{11}}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Этап 2.10.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Этап 2.10.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 2.10.2.3.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 2.10.2.3.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 2.10.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 2.10.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 2.10.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.10.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.10.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.10.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.10.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 2.10.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Этап 2.10.2.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Этап 2.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Этап 2.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Этап 2.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Этап 2.10.4

Кратность корня означает, сколько раз корень встречается. Например, у множителя ${(x + 5)}^{3}$ был бы корень $x = - 5$ кратности $3$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (кратно $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (кратно $1$ )

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (кратно $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (кратно $1$ )

Этап 2.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Этап 2.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Этап 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{11}}{6}}$

Этап 2.12.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{11}}{6}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{11}}{6}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Этап 2.12.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Этап 2.12.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 2.12.3.3.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Этап 2.12.3.3.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Этап 2.12.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 2.12.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 2.12.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.12.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.12.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.12.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.12.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Этап 2.12.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Этап 2.12.3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Этап 2.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Этап 2.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Этап 2.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Этап 2.12.5

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (кратно $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (кратно $1$ )

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (кратно $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (кратно $1$ )

Этап 2.13

Решением $3 x^{4} - x^{2} + 1 = 0$ является $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Этап 3