Алгебра Примеры

$25 t^{3} - 5 t^{2} + 8 t + 2$

Этап 1

Приравняем $25 t^{3} - 5 t^{2} + 8 t + 2$ к $0$ .

$25 t^{3} - 5 t^{2} + 8 t + 2 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $25 t^{3} - 5 t^{2} + 8 t + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4$

Этап 2.1.3

Подставим $- 0.2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $- 0.2$ в многочлен.

$25 {(- 0.2)}^{3} - 5 {(- 0.2)}^{2} + 8 \cdot - 0.2 + 2$

Этап 2.1.3.2

Возведем $- 0.2$ в степень $3$ .

$25 \cdot - 0.008 - 5 {(- 0.2)}^{2} + 8 \cdot - 0.2 + 2$

Этап 2.1.3.3

Умножим $25$ на $- 0.008$ .

$- 0.2 - 5 {(- 0.2)}^{2} + 8 \cdot - 0.2 + 2$

Этап 2.1.3.4

Возведем $- 0.2$ в степень $2$ .

$- 0.2 - 5 \cdot 0.04 + 8 \cdot - 0.2 + 2$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 5$ на $0.04$ .

$- 0.2 - 0.2 + 8 \cdot - 0.2 + 2$

Этап 2.1.3.6

Вычтем $0.2$ из $- 0.2$ .

$- 0.4 + 8 \cdot - 0.2 + 2$

Этап 2.1.3.7

Умножим $8$ на $- 0.2$ .

$- 0.4 - 1.6 + 2$

Этап 2.1.3.8

Вычтем $1.6$ из $- 0.4$ .

$- 2 + 2$

Этап 2.1.3.9

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 0.2$ — известный корень, разделим многочлен на $5 t + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{25 t^{3} - 5 t^{2} + 8 t + 2}{5 t + 1}$

Этап 2.1.5

Разделим $25 t^{3} - 5 t^{2} + 8 t + 2$ на $5 t + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5 t$

$1$

$25 t^{3}$

$5 t^{2}$

$8 t$

$2$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $25 t^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 t$ .

					$5 t^{2}$
	$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$5 t^{2}$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			+	$25 t^{3}$	+	$5 t^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $25 t^{3} + 5 t^{2}$ .

				$5 t^{2}$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 t^{2}$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 t^{2}$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$	+	$8 t$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 t^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 t$ .

				$5 t^{2}$	-	$2 t$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$	+	$8 t$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$5 t^{2}$	-	$2 t$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$	+	$8 t$
					-	$10 t^{2}$	-	$2 t$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 t^{2} - 2 t$ .

				$5 t^{2}$	-	$2 t$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$10 t^{2}$	+	$2 t$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 t^{2}$	-	$2 t$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$10 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 t^{2}$	-	$2 t$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$10 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$	+	$2$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 t$ на член с максимальной степенью в делителе $5 t$ .

				$5 t^{2}$	-	$2 t$	+	$2$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$10 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$	+	$2$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$5 t^{2}$	-	$2 t$	+	$2$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$10 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$	+	$2$
							+	$10 t$	+	$2$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 t + 2$ .

				$5 t^{2}$	-	$2 t$	+	$2$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$10 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$	+	$2$
							-	$10 t$	-	$2$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 t^{2}$	-	$2 t$	+	$2$
$5 t$	+	$1$		$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$	+	$8 t$	+	$2$
			-	$25 t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$10 t^{2}$	+	$8 t$
					+	$10 t^{2}$	+	$2 t$
							+	$10 t$	+	$2$
							-	$10 t$	-	$2$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$5 t^{2} - 2 t + 2$

Этап 2.1.6

Запишем $25 t^{3} - 5 t^{2} + 8 t + 2$ в виде набора множителей.

$(5 t + 1) (5 t^{2} - 2 t + 2) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 t + 1 = 0$

$5 t^{2} - 2 t + 2 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $5 t + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $5 t + 1$ к $0$ .

$5 t + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $5 t + 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$5 t = - 1$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $5 t = - 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $5 t = - 1$ на $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 1}{5}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 1}{5}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 1}{5}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{1}{5}$

Этап 2.4

Приравняем $5 t^{2} - 2 t + 2$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $5 t^{2} - 2 t + 2$ к $0$ .

$5 t^{2} - 2 t + 2 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $5 t^{2} - 2 t + 2 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 5$ , $b = - 2$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $t$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 2)}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 20$ на $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $40$ из $4$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$t = \frac{2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{10}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 6 i}{10}$ .

$t = \frac{1 \pm 3 i}{5}$

Этап 2.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 20$ на $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.4.1.3

Вычтем $40$ из $4$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.4.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.4.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$t = \frac{2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.4.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{10}$

Этап 2.4.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 6 i}{10}$ .

$t = \frac{1 \pm 3 i}{5}$

Этап 2.4.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$t = \frac{1 + 3 i}{5}$

Этап 2.4.2.4.5

Разобьем дробь $\frac{1 + 3 i}{5}$ на две дроби.

$t = \frac{1}{5} + \frac{3 i}{5}$

Этап 2.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 2}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 20$ на $2$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.5.1.3

Вычтем $40$ из $4$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.5.1.4

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (36)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$t = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.5.1.7

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$t = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$t = \frac{2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.5.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2.5.2

Умножим $2$ на $5$ .

$t = \frac{2 \pm 6 i}{10}$

Этап 2.4.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 6 i}{10}$ .

$t = \frac{1 \pm 3 i}{5}$

Этап 2.4.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$t = \frac{1 - 3 i}{5}$

Этап 2.4.2.5.5

Разобьем дробь $\frac{1 - 3 i}{5}$ на две дроби.

$t = \frac{1}{5} + \frac{- 3 i}{5}$

Этап 2.4.2.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = \frac{1}{5} - \frac{3 i}{5}$

Этап 2.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$t = \frac{1}{5} + \frac{3 i}{5}, \frac{1}{5} - \frac{3 i}{5}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 t + 1) (5 t^{2} - 2 t + 2) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$t = - \frac{1}{5}$ (кратно $1$ )

$t = \frac{1}{5} + \frac{3 i}{5}$ (кратно $1$ )

$t = \frac{1}{5} - \frac{3 i}{5}$ (кратно $1$ )

$t = - \frac{1}{5}$ (кратно $1$ )

$t = \frac{1}{5} + \frac{3 i}{5}$ (кратно $1$ )

$t = \frac{1}{5} - \frac{3 i}{5}$ (кратно $1$ )

Этап 3