Алгебра Примеры

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4$

Этап 1

Приравняем $x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4$ к $0$ .

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$4 x^{3} - 16 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$4 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 3 u - 4 = 0$

Этап 2.1.7

Разложим $u^{2} - 3 u - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 2.1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 1) = 0$

Этап 2.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.10

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.11

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $4 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.11.2

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x + x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.12

Изменим порядок членов.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + 4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + 4 x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = - 2$ (кратно $1$ )

$x = 2$ (кратно $1$ )

$x = - 2 + \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - 2 - \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - 2$ (кратно $1$ )

$x = 2$ (кратно $1$ )

$x = - 2 + \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

$x = - 2 - \sqrt{3}$ (кратно $1$ )

Этап 3